[論文レビュー] Local Tropical Variety

Naoyuki Touda|ArXiv.org|Nov 19, 2005

Polynomial and algebraic computation参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、形式的冪級数環 $\mathbb{C}[[x_1,\ldots,x_n]]$ におけるイデアルのための局所トロピカル多様体を導入し、$\mathcal{U}_{\text{loc}}$ に属する重みベクトルを用いて、局所的状況へのトロピカル幾何学の一般化を実現する。局所トロピカル多様体が、生成元の局所トロピカル超曲面の交わり、初期イデアルに単項式を含まない重みの集合、および初期イデアルに単項式が現れないグレブナー錐の閉包と一致することを確立する。

ABSTRACT

The tropical variety of an ideal was introduced by D.Speyer and B.Sturmfels. In this paper, we will give an analogous definition of local tropical varieties and prove analogous theorems in the formal power series ring. We will also discuss about relations between the local Groebner fan and local tropical variety.

研究の動機と目的

• 形式的冪級数環 $\widehat{\mathcal{O}} = \mathbb{C}[[x_1,\ldots,x_n]]$ における局所トロピカル多様体を定義することで、トロピカル幾何学を局所的状況に拡張すること。
• プルフェュール級数を用いた古典的トロピカル多様体の構成を、形式的冪級数と局所的重みベクトルを用いて局所的状況に一般化すること。
• 局所トロピカル多様体を、初期イデアルに単項式を含まない局所的重みの集合として特徴付けること。
• 初期イデアルに単項式が現れないグレブナー錐の閉包と、局所トロピカル多様体との対応関係を確立すること。
• 局所トロピカル多様体が、イデアル生成元の局所トロピカル超曲面の交わりに一致することを証明すること。

提案手法

• 原点付近の局所的挙動をモデル化するため、非負の成分をもつ局所的重みベクトル $u \in \mathcal{U}_{\text{loc}} \subset \mathbb{R}^n$ を定義する。
• 冪級数 $f$ の $u$-重みを $\text{Supp}(f)$ 上の $u \cdot \alpha$ の最小値として定義し、これによりフィルトレーションと関連する順次環 $\text{Gr}^u(\widehat{\mathcal{O}})$ を導入する。
• 重み $u$ における $f$ の初期形 $\text{in}_u(f)$ を、順次環における $f$ の類として定義する。
• 冪級数 $f$ の局所トロピカル化 $\text{trop}(f)$ を、単項式の $u$-重みを係数とするトロピカル半体におけるトロピカル多項式として定義する。
• 局所トロピカル超曲面 $\mathcal{T}^h_{\text{loc}}(\text{trop}(f))$ を、トロピカル多項式 $\text{trop}(f)$ の最小値が少なくとも2回以上達成される重みの集合として定義する。
• 局所トロピカル多様体 $\mathcal{T}_{\text{loc}}(I)$ が、生成元の局所トロピカル超曲面の交わり、初期イデアルに単項式を含まない重みの集合、および初期イデアルに単項式が現れないグレブナー錐の閉包に一致することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的トロピカル多様体の構成を、プルフェュール級数の代わりに形式的冪級数を用いることで、どのように局所的状況に適応できるか？
• RQ2 局所的状況における初期イデアルとトロピカル化の正しい一般化は何か？
• RQ3 局所トロピカル多様体は、形式的冪級数環におけるグレブナー・ファンと局所グレブナー錐とどのように関係するか？
• RQ4 局所トロピカル多様体は、イデアル生成元の局所トロピカル超曲面の交わりとして特徴付けられるか？
• RQ5 局所グレブナー錐の閉包を用いた、局所トロピカル多様体の組合せ論的記述は存在するか？

主な発見

• 局所トロピカル多様体 $\mathcal{T}_{\text{loc}}(I)$ は、すべての生成元 $f \in I$ の局所トロピカル超曲面の交わりに等しく、すなわち $\mathcal{T}_{\text{loc}}(I) = \bigcap_{f \in I} \mathcal{T}^h_{\text{loc}}(\text{trop}(f))$ が成り立つ。
• 局所トロピカル多様体は、$\text{in}_w(I) \subset \text{Gr}^w(\widehat{\mathcal{O}})$ に単項式を含まない局所的重み $w \in \mathcal{U}_{\text{loc}}$ の集合と一致する。
• 局所トロピカル多様体は、初期イデアルに単項式が含まれないグレブナー錐 $\overline{\mathcal{C}_i[w_i]}$ の閉包の和集合である。
• イデアル $I$ に対して、局所トロピカル多様体は、有限集合 $\mathcal{H} = \{f_j \mid l+1 \leq j \leq r\}$ の局所トロピカル超曲面の交わりとも等しい。ここで各 $f_j$ は、対応する錐内で単項式の初期形を持つ。
• 例では、$f = y(e^x - 1) - x^2$ に対する $\langle f \rangle$ の局所トロピカル多様体が、$xy - x^2$、$-x^2$、$xy$ に対応する錐の閉包の和集合として計算され、原点はゼロにマッピングされる。
• 局所トロピカル多様体は、初期イデアルが単項式を避ける局所グレブナー錐に対応する、有限個の多面体集合の和集合である。