[論文レビュー] Locality in Quantum Systems

M. B. Hastings|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2010

Advanced Chemical Physics Studies被引用数 57

ひとこと要約

この論文は、局所性とLieb-Robinson限界を用いて量子多体系を分析するフレームワークを開発し、相関関数の指数的減衰、非相対論的ゴールドストーン定理、局所的摂動下でのトポロジカルな秩序の安定性を示している。主な貢献は、ギャップのある系において、スペクトルギャップ、局所性、そして出現する量子秩序の間の厳密な関係を確立することにある。

ABSTRACT

These lecture notes focus on the application of ideas of locality, in particular Lieb-Robinson bounds, to quantum many-body systems. We consider applications including correlation decay, topological order, a higher dimensional Lieb-Schultz-Mattis theorem, and a nonrelativistic Goldstone theorem. The emphasis is on trying to show the ideas behind the calculations. As a result, the proofs are only sketched with an emphasis on the intuitive ideas behind them, and in some cases we use techniques that give very slightly weaker bounds for simplicity. This is a preliminary version of the lecture notes, with the goal of getting the notes out close to the end of the school. Comments welcome.

研究の動機と目的

• 局所性とスペクトルギャップの観点から、量子多体系を理解する理論的基盤を確立すること。
• 局所的相互作用とスペクトルギャップが相関関数の指数的減衰をもたらすことを示すこと。
• 局所性とギャップ制約を用いて、Lieb-Schultz-Mattis定理を高次元に拡張すること。
• Lieb-Robinson限界とスペクトルギャップの議論を用いて、非相対論的ゴールドストーン定理を確立すること。
• 準静的続行と一様なギャップ限界を用いて、局所的摂動下でのトポロジカルに秩序された相の安定性を分析すること。

提案手法

• 局所的相互作用を持つ量子系における情報伝播速度を定量化するためにLieb-Robinson限界を用いる。
• 演算子ノルムとサポート構造を用いて局所的観測量を定義し、ハイゼンベルク描写におけるその時間発展を記述する。
• スペクトルギャップの仮定を用いて、摂動的および動的な限界を介して相関関数の指数的減衰を導出する。
• 準静的続行を用いて、微小な局所的摂動下での基底状態の性質を追跡する。
• スペクトルギャップと局所性を用いて、対称性の破れと低エネルギーモードの分析を通じて、非相対論的ゴールドストーン定理を証明する。
• 局所的摂動下でのギャップの安定性を用いて、基底状態の degeneracy とバーニング統計を含むトポロジカル秩序の頑健性を主張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lieb-Robinson限界で形式化された量子系の局所性は、ギャップのある多体系における力学と相関関係をどのように制約するか？
• RQ2 スペクトルギャップが量子スピン系において相関関数の指数的減衰を示す条件は何か？
• RQ3 局所性とギャップ制約を用いて、Lieb-Schultz-Mattis定理の高次元一般化を導出可能か？
• RQ4 局所的相互作用とギャップを持つ量子系において、非相対論的ゴールドストーン定理をどのように確立できるか？
• RQ5 トポロジカルに秩序された相はどの程度局所的摂動に対して安定であり、一様なギャップ限界を用いてどのように証明できるか？

主な発見

• 局所的相互作用を持つギャップのある量子系では、相関関数が距離とともに指数的に減衰する。これはLieb-Robinson限界とスペクトルギャップの仮定から導かれる。
• 非相対論的ゴールドストーン定理が確立され、連続的対称性とスペクトルギャップを持つ系に低エネルギーモードの存在が示された。
• 高次元におけるLieb-Schultz-Mattis定理が証明され、特定の系においては、スペクトルギャップと非デgeneracyな基底状態が両立しないことが示された。
• ギャップが系のサイズに一様に開いている限り、基底状態の degeneracy とバーニング統計を含むトポロジカル秩序が局所的摂動に対して安定であることが示された。
• 摂動ノルムの一様な限界を用いて、スペクトルギャップが局所的摂動下でも安定していることを証明し、十分に小さい結合定数では相がギャップを閉じないことを保証した。
• トポロジカルなエンタングルメントエントロピーが摂動に対して不変である可能性が示唆されたが、その不変性の滑らかに定義された形は未解決の問題のままである。