[論文レビュー] Localizations of (one-sided) exact categories

Ruben Henrard, Adam-Christiaan van Roosmalen|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、浸透する部分圏を用いて、片側正確および正確な圏の二段階局所化構成を導入し、従来の理論を一般化する商を可能にする。商圏が2-普遍的性質を満たすことを証明し、有界導来圏におけるヴェルディエ局所化を誘導する条件を確立する。

ABSTRACT

In this paper, we introduce quotients of exact categories by percolating subcategories. This approach extends earlier localization theories by Cardenas and Schlichting for exact categories, allowing new examples. Let $\mathcal{A}$ be a percolating subcategory of an exact category $\mathcal{E}$, the quotient $\mathcal{E} {/\mkern-6mu/} \mathcal{A}$ is constructed in two steps. In the first step, we associate a set $S_\mathcal{A} \subseteq \operatorname{Mor}(\mathcal{E})$ to $\mathcal{A}$ and consider the localization $\mathcal{E}[S^{-1}_\mathcal{A}]$. In general, $\mathcal{E}[S_\mathcal{A}^{-1}]$ need not be an exact category, but will be a one-sided exact category. In the second step, we take the exact hull $\mathcal{E} {/\mkern-6mu/} \mathcal{A}$ of $\mathcal{E}[S_\mathcal{E}^{-1}]$. The composition $\mathcal{E} ightarrow \mathcal{E}[S_\mathcal{A}^{-1}] ightarrow \mathcal{E} {/\mkern-6mu/} \mathcal{A}$ satisfies the 2-universal property of a quotient in the 2-category of exact categories. We formulate our results in slightly more generality, allowing to start from a one-sided exact category. Additionally, we consider a type of percolating subcategories which guarantee that the morphisms of the set $S_\mathcal{A}$ are admissible. In upcoming work, we show that these localizations induce Verdier localizations on the level of the bounded derived category.

研究の動機と目的

• セール部分圏や厚い部分圏を超える新しい例を許容する浸透する部分圏を導入することで、正確な圏の既存の局所化理論を一般化すること。
• カルデナスやシュリヒティングの枠組みの限界を克服するため、LCA（局所コンパクトアーベル群）やグライダー表現などの圏に適用可能な商を構成すること。
• まず部分圏に関連する射の集合での局所化を行い、次に正確な包をとることで、商圏を二段階のプロセスで定義すること。
• 得られる商が2-圏における正確な圏の2-普遍的性質を満たすことを示し、アーベル圏や三角圏の商の普遍的性質を一般化すること。
• 局所化がホモロジー的性質を保つための条件を確立すること、特に適切に浸透する部分圏の概念を通じてホモロジー的制御を強化すること。

提案手法

• 正確な圏 E のフル部分圏 A を、A1–A4 の公理を満たすものとして定義し、セール部分圏の性質を一般化する。
• A に含まれる余核を持つインフレーション、または A に含まれる核を持つデフレーションからなる射の集合 S_A ⊆ Mor(E) を関連付ける。
• E[S_A^{-1}] を、片側正確な圏（具体的にはデフレーション-正確またはインフレーション-正確な圏）として局所化し、これは一般には正確ではない。
• E[S_A^{-1}] の正確な包 E//A を構成することで、真の正確な圏を得る。これにより、商関手 Q: E → E//A が正確であることが保証される。
• 2-普遍的性質を用いて、A を消滅させる正確関手が Q を普遍的に因数分解できることを示し、アーベル圏や三角圏における商の構成を一般化する。
• 射が適切に浸透する（すなわち、コンフラクションの一部である）ことを保証するため、適切に浸透する部分圏の概念を導入する。これによりホモロジー的制御が強化される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LCA やグライダー表現のように、従来の公理を満たさない例を含めるために、正確な圏の局所化理論をどのように一般化できるか？
• RQ2 部分圏から生じる射の集合での片側正確な圏の局所化が、どのようにホモロジー的にうまく振る舞うかを保証する条件は何か？
• RQ3 二段階の構成（局所化の次に正確な包をとる）が、正確な圏の2-圏における2-普遍的性質を満たす商をどのように得るのか？
• RQ4 S_A に属する射がいつ適切に浸透するのか、そしてそのことが導来圏の構造にどのように影響するか？
• RQ5 これらの局所化は、有界導来圏におけるヴェルディエ局所化とどのように関係するか？

主な発見

• E//A を E[S_A^{-1}] の正確な包として構成することで、商関手 Q: E → E//A が正確な圏の2-圏における2-普遍的性質を満たすことが保証される。
• 局所化 E[S_A^{-1}] は片側正確な圏（デフレーション-正確またはインフレーション-正確）ではあるが、一般には正確ではない。これは、一般に局所化と正確性が可換でないことを示している。
• 適切に浸透する部分圏に対しては、S_A に属する射が適切に浸透し、S_A-同型の右乗法的系は飽和している。
• 局所化 E//A は有界導来圏 D^b(E) にヴェルディエ局所化を誘導する。これは三角圏の設定で知られている結果を一般化する。
• Z[t]-加群の圏 E で、k ⊕ kt ⊕ kt^2 の形の対象を含む例において、E//A はインフレーション-正確ではない。これは、Axiom L1 が、合成の余核の核が同型でないために失敗するためである。
• この例では、合成の余核の核が tRe_2 に同型でないことが示され、E//A において合成がインフレーションに引き上げられないことが示されている。