[論文レビュー] Locally analytic distributions and p-adic representation theory, with applications to GL_2

Peter Schneider, Jeremy Teitelbaum|ArXiv.org|Dec 9, 1999

Advanced Algebra and Geometry参考文献 2被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、$GL_2(\mathbb{Q}_p)$ などの局所 $L$-解析的群に対して、局所解析的分布代数 $D(G,K)$ を用いて連続表現を代数化することにより、'許容的'表現の族を導入する。$p$-進主系列に関連する $D(GL_2(\mathbb{Q}_p),K)$-加群の代数的単純性を確立し、従来の手法の欠陥を克服する新しい方法により、その位相的完全不可約性を証明する。

ABSTRACT

Let L be a finite extension of Qp, and let K be a spherically complete non-archimedean extension field of L. In this paper we introduce a restricted category of continuous representations of locally L-analytic groups G in locally convex K-vector spaces. We call the objects of this category "admissible" representations and we establish some of their basic properties. Most importantly we show that (at least when G is compact) the category of admissible representations in our sense can be algebraized; it is faithfully full (anti)-embedded into the category of modules over the locally analytic distribution algebra D(G,K) of G over K. As an application of our theory, we prove the topological irreducibility of generic members of the p-adic principal series of GL(2,Qp).

研究の動機と目的

• 局所 $L$-解析的群における連続的 $K$-値表現の取り扱いやすい理論を構築すること。これはバナッハ空間表現における病理的性質によって妨げられる。
• 局所凸 $K$-ベクトル空間における連続表現の制限されたカテゴリとしての'許容的'表現を定義・研究することにより、取り扱いやすさを保証するための有限性条件を確保すること。
• 局所解析的分布代数 $D(G,K)$ 上の加群との間の忠実な反同値を示すことにより、許容的表現のカテゴリを代数化すること。
• 新しい代数化フレームワークを用いて、$GL_2(\mathbb{Q}_p)$ の $p$-進主系列表現の位相的完全不可約性を証明し、モリタによる誤りを含む以前の証明を是正すること。
• 新規の代数化フレームワークを用いて、$p$-進主系列間の相互作用作用素の性質を強化し、より明確に記述すること。

提案手法

• $K$ を $L$ の球的完備な非アーベル的拡張とするとき、局所凸 $K$-ベクトル空間における連続表現として許容的表現のカテゴリを導入する。
• 表現理論を代数化するための道具として、局所解析的分布代数 $D(G,K)$ を用い、位相的完全不可約性の代わりに代数的単純性を導入する。
• アミーズの、$D(\mathbb{Z}_p,K)$ と開 $p$-進単位円板上のべき級数との間のフーリエ同型を用いて、分布代数を分析する。
• ラザールドの結果（$K$ 上のべき級数環において、すべての因子が主理想である）を用いて、$L=\mathbb{Q}_p$ のときの $D(o_L,K)$ の構造を分析する。
• 主系列表現から $D(G,K)$-加群の商への $G$-不変で連続的かつ非零な写像 $I$ を構成し、不完全性を示す。
• 主系列における局所多項式関数の空間が有限次元空間の帰納的極限であるため、その双対が完全な代数的双対であることを用いて、部分商を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ空間表現における病理的性質のため、局所 $L$-解析的群に対して取り扱いやすい連続的 $K$-値表現の統一的理論を構築できるか？
• RQ2 許容的表現のカテゴリは、局所解析的分布代数 $D(G,K)$ 上の加群のカテゴリと同値か？
• RQ3 モリタの手法に依存する'局所的完全不可約性'の欠陥を避ける代数的メソッドにより、$GL_2(\mathbb{Q}_p)$ の $p$-進主系列の位相的完全不可約性を確立できるか？
• RQ4 $D(GL_2(\mathbb{Q}_p),K)$-加群としての $p$-進主系列の構造は何か？ また、それは代数的に単純か？
• RQ5 $p$-進主系列表現間の相互作用作用素の性質は何か？ また、新しいフレームワークを用いて、それらをより明確に記述できるか？

主な発見

• コンパクトな局所 $L$-解析的群 $G$ に対する許容的表現のカテゴリは、局所解析的分布代数 $D(G,K)$ 上の加群のカテゴリに忠実かつ完全（反同値）に埋め込まれる。
• $G = GL_2(\mathbb{Q}_p)$ の場合、$p$-進主系列に関連する $D(G,K)$-加群は代数的に単純であり、これは位相的完全不可約性を意味する。
• 不完全性の証明は、表現の代数化に依存する新しい方法に基づく。これは、モリタの証明が'局所的完全不可約性'に依存する欠陥を克服する。
• 主系列における局所多項式関数の空間は、$({\mathfrak{gl}}_2(\mathbb{Q}_p),G)$-加群として単純であるか、2段階のフィルトレーションを持ち、その部分商は単純である。
• $M_\chi / M_\chi^{(0)}$ は、局所多項式関数の空間の完全な代数的双対と同型であり、その部分商は一般に $D(G,K)$-加群として単純ではない。
• 命題 6.2 の証明で構成された写像 $I$ は $G$-不変で、連続的かつ非零であり、モリタの研究においてより概念的でない形で現れるが、カステルマンに帰属される。