[論文レビュー] Locally-Iterative Distributed (Delta + 1)-Coloring below Szegedy-Vishwanathan Barrier, and Applications to Self-Stabilization and to Restricted-Bandwidth Models

Leonid Barenboim, Michael Elkin+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2017

Distributed systems and fault tolerance参考文献 57被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$O(\Delta + \log^* n)$ラウンドで実行される局所反復的$(\Delta+1)$-彩色アルゴリズムを提示しており、このようなアルゴリズムにおける長年のSzegedy-Vishwanathanの境界$\Omega(\Delta\log\Delta + \log^* n)$を打ち破っている。新しい3次元彩色集約技術と段階的精錬プロセスを導入することで、分散環境における収束速度が向上し、自己安定性、帯域制限、動的環境に適したアルゴリズムの改善が可能になった。

ABSTRACT

We consider graph coloring and related problems in the distributed message-passing model. {Locally-iterative algorithms} are especially important in this setting. These are algorithms in which each vertex decides about its next color only as a function of the current colors in its 1-hop neighborhood. In STOC'93 Szegedy and Vishwanathan showed that any locally-iterative (Delta+1)-coloring algorithm requires Omega(Delta log Delta + log^* n) rounds, unless there is "a very special type of coloring that can be very efficiently reduced" \cite{SV93}. In this paper we obtain this special type of coloring. Specifically, we devise a locally-iterative (Delta+1)-coloring algorithm with running time O(Delta + log^* n), i.e., {below} Szegedy-Vishwanathan barrier. This demonstrates that this barrier is not an inherent limitation for locally-iterative algorithms. As a result, we also achieve significant improvements for dynamic, self-stabilizing and bandwidth-restricted settings: - We obtain self-stabilizing distributed algorithms for (Delta+1)-vertex-coloring, (2Delta-1)-edge-coloring, maximal independent set and maximal matching with O(Delta+log^* n) time. This significantly improves previously-known results that have O(n) or larger running times \cite{GK10}. - We devise a (2Delta-1)-edge-coloring algorithm in the CONGEST model with O(Delta + log^* n) time and in the Bit-Round model with O(Delta + log n) time. Previously-known algorithms had superlinear dependency on Delta for (2Delta-1)-edge-coloring in these models. - We obtain an arbdefective coloring algorithm with running time O(\sqrt Delta + log^* n). We employ it in order to compute proper colorings that improve the recent state-of-the-art bounds of Barenboim from PODC'15 \cite{B15} and Fraigniaud et al. from FOCS'16 \cite{FHK16} by polylogarithmic factors. - Our algorithms are applicable to the SET-LOCAL model of \cite{HKMS15}.

研究の動機と目的

• SzegedyとVishwanathanが確立した、局所反復的$(\Delta+1)$-彩色における$\Omega(\Delta\log\Delta + \log^* n)$の下界を克服すること。
• この境界を下回る局所反復的アルゴリズムを設計し、それが本質的な制限ではないことを実証すること。
• 新しい彩色アプローチを活用して、自己安定性、動的、帯域制限付き分散アルゴリズムの高速化を実現すること。
• 事前に効率的なアルゴリズムが限られていたSET-LOCALモデルへの適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 各頂点が色情報と衝突解決を記録するための三重組$\langle c_v, b_v, a_v \rangle$を維持する3次元彩色集約（3AG）メカニズムを導入。
• 段階的精錬プロセスを採用：頂点は$O(\Delta)$ラウンドにわたり$b$-値と$a$-値を段階的に確定させ、最終的な彩色に矛盾が生じないことを保証。
• 3AGアルゴリズムで二段階戦略を採用：まず$3\Delta+1$ラウンドで$b$-値を安定化させ、その後$2\Delta+1$ラウンドで$a$-値を確定。
• パラメータ$\epsilon > 0$を用いた$p$-色パレット（$p \geq (1+\epsilon)\Delta$）を用いた色の縮小技術を適用し、$O(\frac{1}{\epsilon} \cdot p)$ラウンドで適切な$p$-彩色に収束。
• $O(\sqrt{\Delta} + \log^* n)$時間で$(1+\epsilon)\Delta$-彩色を計算するためのサブルーチンとしてarbdefective彩色を活用。
• アルゴリズムをSET-LOCALモデルに適応させ、この制限の厳しいモデルにおいて、初めて$\Delta$に線形に依存する$(\Delta+1)$-彩色アルゴリズムを実現。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所反復的$(\Delta+1)$-彩色アルゴリズムが$o(\Delta\log\Delta)$時間で実行可能であり、Szegedy-Vishwanathanの境界を打ち破れるか？
• RQ2 「特別な彩色」の必要性を回避する構成的手段が存在するか？（そうでなければ境界がタイトになってしまうため）
• RQ3 新アルゴリズムが自己安定性、動的、低帯域幅分散モデルに適応可能で、効率が向上するか？
• RQ4 事前に数例しか知られていないアルゴリズムに限られるSET-LOCALモデルでも、アルゴリズムを拡張可能か？

主な発見

• 本稿では、局所反復的アルゴリズムを用いて$(\Delta+1)$-彩色を$O(\Delta + \log^* n)$ラウンドで達成し、$\Omega(\Delta\log\Delta + \log^* n)$の下界を打ち破った。
• 自己安定性アルゴリズムにおいて、$(\Delta+1)$-頂点彩色、$(2\Delta-1)$-辺彩色、最大独立集合、最大マッチングが$O(\Delta + \log^* n)$時間で実行可能となり、従来の$O(n)$の境界を改善した。
• CONGESTモデルにおいて、$(2\Delta-1)$-辺彩色が$O(\Delta + \log^* n)$時間で計算可能であり、$\log^* n$の項は避けられない。
• Bit-Roundモデルにおいて、$O(\Delta)$-辺彩色が$O(\Delta + \log n)$時間で計算可能であり、$\log n$の項は避けられない。
• arbdefective彩色が$O(\sqrt{\Delta} + \log^* n)$時間で計算可能であり、同じ時間内に適切な$(1+\epsilon)\Delta$-彩色が得られる。
• SET-LOCALモデルにおいて、初めて$\Delta$に線形に依存する$(\Delta+1)$-彩色アルゴリズムが実現され、このモデルにおける既知の$\Omega(\Delta^{1/3})$の下界を克服した。