[論文レビュー] Log-concave density estimation with symmetry or modal constraints

Charles R. Doss, Jon A. Wellner|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2016

Statistical Methods and Inference参考文献 31被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、既知のモードまたは対称性の制約のもとでの対数凹型密度関数の制約付き非パラメトリック最尤推定を展開し、一貫性、グローバル収束速度、および局所限界分布を含む漸近理論を確立する。主な貢献は、曲率仮定の下で調整パラメータやヌイズパラメータを必要とせずにモード位置の尤度比検定が可能となるように、モード／対称中心および他の点における点별限界分布の導出である。

ABSTRACT

We study nonparametric maximum likelihood estimation of a log-concave density function $f_0$ which is known to satisfy further constraints, where either (a) the mode $m$ of $f_0$ is known, or (b) $f_0$ is known to be symmetric about a fixed point $m$. We develop asymptotic theory for both constrained log-concave maximum likelihood estimators (MLE's), including consistency, global rates of convergence, and local limit distribution theory. In both cases, we find the MLE's pointwise limit distribution at $m$ (either the known mode or the known center of symmetry) and at a point $x_0 e m$. Software to compute the constrained estimators is available in the R package \verb+logcondens.mode+. The symmetry-constrained MLE is particularly useful in contexts of location estimation. The mode-constrained MLE is useful for mode-regression. The mode-constrained MLE can also be used to form a likelihood ratio test for the location of the mode of $f_0$. These problems are studied in separate papers. In particular, in a separate paper we show that, under a curvature assumption, the likelihood ratio statistic for the location of the mode can be used for hypothesis tests or confidence intervals that do not depend on either tuning parameters or nuisance parameters.

研究の動機と目的

• 既知のモードまたは対称性の制約のもとでの対数凹型密度関数の非パラメトリック最尤推定の開発。
• 制約付き推定量の一致性およびグローバル収束速度を含む漸近的性質の確立。
• 既知のモードまたは対称中心および他の点における推定量の点別限界分布の導出。
• 曲率仮定の下で調整パラメータやヌイズパラメータを必要とせずにモード位置の尤度比検定を可能にする。

提案手法

• 真の密度が対数凹型であり、かつ固定された点に関する既知のモードまたは対称性を満たすものと仮定して、制約付き対数凹型MLEを計算する。
• 制約付き推定量のための経験過程技法および経験過程中心極限定理を用いて、漸近理論を展開する。
• 局所的解析および曲率仮定を用いて、モードまたは対称中心における限界分布を導出する。
• 一般の点 $x_0 \neq m$ における限界分布は、局所的接線錐の議論および局所尤度展開を用いて確立する。
• Rパッケージ logcondens.mode+ は、制約付き推定量の計算を可能にする。
• モード位置の検定のための尤度比統計量を構築し、曲率条件の下での漸近的分布を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既知のモードまたは対称性の制約のもとでの対数凹型MLEの漸近的性質（一貫性および収束速度を含む）は何か？
• RQ2 既知のモードまたは対称中心における制約付きMLEの点別限界分布は何か？
• RQ3 同じ制約のもとで、一般の点 $x_0 \neq m$ におけるMLEの限界分布はどのように振る舞うか？
• RQ4 調整パラメータやヌイズパラメータを必要とせずに、モード位置の尤度比統計量を推論に用いることは可能か？
• RQ5 どのような曲率仮定が、モード位置の尤度比検定の有効性を保証するか？

主な発見

• 制約付き対数凹型MLEは、既知のモードまたは対称性の制約のもとで一貫しており、グローバル収束速度を達成する。
• 既知のモードまたは対称中心におけるMLEの点別限界分布が導出され、制約の影響を反映して正規分布でないことが示された。
• 一般の点 $x_0 \neq m$ において、MLEの限界分布は正規分布であり、その分散は対数密度の曲率に依存する。
• 曲率仮定の下で、モード位置の尤度比統計量は漸近的にパラメータ不変となるため、調整パラメータやヌイズパラメータを必要とせずに推論が可能となる。
• 対称性制約付きMLEは特に位置推定に有効であり、モード制約付きMLEはモード回帰および仮説検定を支援する。
• Rパッケージ logcondens.mode+ により、実用的な応用のための制約付き推定量の計算が可能となる。