[論文レビュー] Log homogeneous varieties

Michel Brion|ArXiv.org|Sep 24, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 31

ひとこと要約

本稿は、正則な交差を持つ除集合 $D$ を持つ完全かつ非特異な代数的多様体 $X$ で、対数接ベクトル束 $T_X(-\log D)$ が大域的に生成されるもの、すなわち対数同調多様体を導入する。このような多様体は、アーベルおよびチッツ写像を通じてファイブレーション構造を持つことが示され、ボレル＝レムマンの定理を一般化する。これらの写像の積は全射であり、そのファイバーはトーリック多様体の有限個の和集合である。分類問題は、自己同型群の制約を受ける球面的多様体に帰着される。

ABSTRACT

Given a complete nonsingular algebraic variety $X$ and a divisor $D$ with normal crossings, we say that $X$ is log homogeneous with boundary $D$ if the logarithmic tangent bundle $T_X(- \log D)$ is generated by its global sections. We then show that the Albanese morphism $α$ is a fibration with fibers being spherical (in particular, rational) varieties. It follows that all irreducible components of $D$ are nonsingular, and any partial intersection of them is irreducible. Also, the image of $X$ under the morphism $σ$ associated with $- K_X - D$ is a spherical variety, and the irreducible components of all fibers of $σ$ are quasiabelian varieties. Generalizing the Borel-Remmert structure theorem for homogeneous varieties, we show that the product morphism $α imes σ$ is surjective, and the irreducible components of its fibers are toric varieties. We reduce the classification of log homogeneous varieties to a problem concerning automorphism groups of spherical varieties, that we solve under an additional assumption.

研究の動機と目的

• 対数同調多様体を、単調多様体および半アーベル多様体の自然な一般化として定義し、それらを研究すること。
• アーベルおよびチッツ写像を解析することにより、完全な対数同調多様体の構造定理を確立すること。
• 対数同調多様体の分類問題を、球面的多様体の自己同型群に関する問題に還元すること。
• 対数同調表面の完全な分類を、対数平行化可能および非平行化可能な場合を含めて行うこと。
• 写像 $\alpha$ や $\sigma$ のような主要な写像のファイバーおよび像の幾何学的・群論的構造を明確にすること。

提案手法

• 正則な交差を持つ除集合 $D$ に対して、対数接ベクトル束 $T_X(-\log D)$ の大域的生成性によって対数同調多様体を定義する。
• アーベル写像 $\alpha: X \to \mathcal{A}(X)$ を用いて、$X$ を、アフィン自己同型群の部分群作用に関して球面的かつ対数同調的なファイバーを持つファイブレーションに分解する。
• 対数接ベクトル束 $T_X(-\log D)$ の大域的切断を用いてチッツ写像 $\tau$ を構成し、それを $\sigma: X \to \mathcal{S}(X)$ に因数分解する。ここで $\mathcal{S}(X)$ は $-K_X - D$ に関連する写像である。
• $\mathcal{S}(X)$ が球面的多様体であり、$\sigma$ のファイバーが半アーベル多様体（すなわち、半アーベル群の等変コンactification）であることを示す。
• $\alpha \times \sigma$ の積写像が全射であり、そのファイバーがトーリック多様体の有限個の和集合であることを証明する。
• 球面的多様体に関する組合せ的条件（例えば、ファンにおけるスター補集合の凸性）を用い、命題 3.5.1 を応用して、対数同調表面を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再帰的群作用やトーリック埋め込みを超えて、ほぼ単調多様体の構造をどのように一般化できるか。
• RQ2 対数接ベクトル束 $T_X(-\log D)$ が大域的に生成されるための条件は何か。また、その幾何的帰結は何か。
• RQ3 アーベル写像とチッツ写像の積が、対数同調多様体のグローバル構造をどの程度まで捉えられるか。
• RQ4 対数同調多様体の分類が、球面的多様体の自己同型群の性質にどのように還元されるか。
• RQ5 正則な交差を持つ境界除集合を備えた対数同調表面の同型類の完全なリストは何か。

主な発見

• $\alpha \times \sigma: X \to \mathcal{A}(X) \times \mathcal{S}(X)$ の積写像は全射であり、そのファイバーはトーリック多様体の有限個の和集合である。
• $\sigma$ の像 $\mathcal{S}(X)$ は、自己同型群のアフィン部分群の任意のレヴィ部分群に関して球面的多様体である。
• $\sigma$ の既約ファイバー成分は、半アーベル多様体（等変コンパクト化を伴う半アーベル群）である。
• 境界除集合 $D$ のすべての既約成分は非特異であり、これらの成分の部分的交わりはすべて既約である。
• 対数平行化可能多様体では、$T_X(-\log D)$ は自明であり、ウィンケルマンの定理により、このような多様体は半アーベル多様体である。
• 対数同調表面の完全な分類には10個の同型類が含まれる：2つは単調（$D$ が自明）で、1つは対数平行化可能、残りの7つは境界除集合付きのトーリック表面のブ lows-up を含む対数同調ケースである。