[論文レビュー] Log minimal model program for the moduli space of stable curves: The first flip

Brendan Hassett, Donghoon Hyeon|ArXiv.org|Jun 20, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 42

ひとこと要約

本稿では、双canonical曲線のチャウ多様体の幾何学的不変式理論（GIT）商として、$\overline{M}_g(7/10)$ の対数 canonical モデルを構成し、そのモアリのフリップ $\overline{M}_g(7/10 - \epsilon)$ を同様に双canonical曲線のヒルベルトスキームのGIT商として構成する。安定曲線のモジュライ空間の対数最小モデルプログラムにおける最初のフリップを同定し、$\alpha = 7/10 + \epsilon$ における収縮が楕円ブリッジを収縮させることを示し、フリップによってそれらが接合点を持つ曲線に置き換えられることを明らかにし、GIT安定性条件によるモジュラー解釈を提供する。

ABSTRACT

We give a geometric invariant theory (GIT) construction of the log canonical model $\bar M_g(α)$ of the pairs $(\bar M_g, αδ)$ for $α\in (7/10 - ε, 7/10]$ for small $ε\in \mathbb Q_+$. We show that $\bar M_g(7/10)$ is isomorphic to the GIT quotient of the Chow variety bicanonical curves; $\bar M_g(7/10-ε)$ is isomorphic to the GIT quotient of the asymptotically-linearized Hilbert scheme of bicanonical curves. In each case, we completely classify the (semi)stable curves and their orbit closures. Chow semistable curves have ordinary cusps and tacnodes as singularities but do not admit elliptic tails. Hilbert semistable curves satisfy further conditions, e.g., they do not contain elliptic bridges. We show that there is a small contraction $Ψ: \bar M_g(7/10+ε) o \bar M_g(7/10)$ that contracts the locus of elliptic bridges. Moreover, by using the GIT interpretation of the log canonical models, we construct a small contraction $Ψ^+ : \bar M_g(7/10-ε) o \bar M_g(7/10)$ that is the Mori flip of $Ψ$.

研究の動機と目的

• 対数 canonical モデル $\overline{M}_g(7/10)$ を、双canonical曲線のチャウ多様体のGIT商として構成すること。
• $\alpha = 7/10 + \epsilon$ における収縮のモアリのフリップを、双canonical曲線のヒルベルトスキームのGIT商として実現すること。
• c-半安定およびh-半安定曲線を分類し、対数最小モデルプログラムにおける収縮およびフリップの対象となる部分集合を同定すること。
• GIT安定性条件を用いて、$\overline{M}_g$ の対数MMPにおける最初のフリップのモジュラー解釈を提供すること。

提案手法

• 双canonical曲線のチャウ多様体のGIT商として $\overline{M}_g(7/10)$ を構成し、ノード、カスプ、接合点を持つc-半安定曲線をパラメトライズする。
• 双canonical曲線のヒルベルトスキームのGIT商として $\overline{M}_g(7/10 - \epsilon)$ を構成し、楕円ブリッジを含まないh-半安定曲線をパラメトライズする。
• ヒルベルト＝ムーディーの基準および1パラメータ部分群の解析を用いて、半安定性を特定し、ヒルベルト＝ムーディー指数を計算する。
• 吸引域の技術を適用して、軌道の閉包を比較し、GIT商において曲線がいつ同一視されるかを特定する。
• 1パラメータ部分群の曲線への作用を解析し、構成された曲線が閉じた軌道を持ち、安定性条件を満たすことを確認する。
• 変形理論および自己同型群の解析を用いて、特定の曲線配置（例：クローズドチェーンのロザリーなど）が他のものに属する吸引域に属さないことを示し、適切なモジュライコンパクト化を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定曲線のモジュライ空間の対数 canonical モデル $\overline{M}_g(7/10)$ の幾何的構造は何か？
• RQ2 $\overline{M}_g$ の対数最小モデルプログラムにおける最初のフリップは、どのようにGIT構成によって実現できるか？
• RQ3 $\overline{M}_g(7/10)$ および $\overline{M}_g(7/10 - \epsilon)$ がパラメトライズする曲線を定義する正確な安定性条件（c-半安定およびh-半安定）は何か？
• RQ4 $\alpha = 7/10$ におけるフリップの幾何的意味は何か？ また、楕円ブリッジが接合点を持つ曲線にどのように置き換えられるか？
• RQ5 自己同型群および1パラメータ部分群の作用は、構成されたモジュライ空間の半安定性および軌道構造をどのように決定するか？

主な発見

• 対数 canonical モデル $\overline{M}_g(7/10)$ は、双canonical曲線のチャウ多様体のGIT商と同型であり、通常のカスプおよび接合点を持つが、楕円テイルを含まないc-半安定曲線をパラメトライズする。
• 空間 $\overline{M}_g(7/10 - \epsilon)$ は、双canonical曲線のヒルベルトスキームのGIT商と同型であり、楕円ブリッジを含まないh-半安定曲線をパラメトライズする。
• 楕円ブリッジの部分集合を収縮する小さな収縮 $\Psi: \overline{M}_g(7/10 + \epsilon) \to \overline{M}_g(7/10)$ が存在する。
• フリップ $\Psi^+: \overline{M}_g(7/10 - \epsilon) \to \overline{M}_g(7/10)$ は $\Psi$ のモアリのフリップであり、$\mathbb{G}_m$-作用によって接合点を持つ曲線に置き換える。
• 一般な楕円ブリッジ $C$ に対して、$(\Psi^+ among the curves in the moduli space.