[論文レビュー] Log-Sine Evaluations of Mahler Measures, II

David Borwein, Jonathan M. Borwein+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2011

Advanced Mathematical Identities参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、対数正弦積分と多重ポリログ関数を用いた複数のマーラー測度の評価を拡張し、$\mu_n(1+x+y)$ について $n=4$ まで閉形式の表現を提供する。高次のマーラー測度を特殊値のポリログ関数および対数正弦積分に還元する体系的な手法を提示し、ボイスの1998年の2つの予想を証明するとともに、超幾何関数と一般化されたクラスレン関数を含む新しいマーラー測度を $\pi/3$ および $2\pi/3$ で導出する。この手法は、超幾何展開、三角関数積分表現、および調和ポリログ関数の組合せ的還元を統合する。

ABSTRACT

We continue the analysis of higher and multiple Mahler measures using log-sine integrals as started in "Log-sine evaluations of Mahler measures" and "Special values of generalized log-sine integrals" by two of the authors. This motivates a detailed study of various multiple polylogarithms and worked examples are given. Our techniques enable the reduction of several multiple Mahler measures, and supply an easy proof of two conjectures by Boyd.

研究の動機と目的

• 文献[7, 8]の先行研究に基づき、対数正弦積分を用いた高次および多重マーラー測度の評価を拡張すること。
• 多重マーラー測度を多重ポリログ関数、一般化されたクラスレン関数およびグライザー関数、対数正弦積分の特殊値に体系的に還元する手法を提供すること。
• 特定のローレンツ多項式のマーラー測度に関するボイスの1998年の2つの予想を直接証明すること。
• $\pi/3$ および $2\pi/3$ における超幾何関数と一般化された対数正弦積分を含む新しいマーラー測度の表現を導出すること。

提案手法

• $\mu_n(1+x+y)$ の二重積分表現を単位トーラス上の三角関数積分として用い、解析的取り扱いを可能にする。
• 超幾何関数の $\varepsilon$-展開を用いて、$\mu_n(1+x+y)$ の超幾何形を展開し、多重逆二項係数和を得る。
• 二重積分表現における内側の積分を組合せ的技法を用いて還元し、重み $k$ の多重調和ポリログ関数の形で表現する。
• 特に $\operatorname{Ls}_n(2\pi/3)$ および $\operatorname{Cl}_k(\pi/3)$ に注目し、$\pi/3$、$\pi/2$、$2\pi/3$、$\pi$ における対数正弦積分の既知の評価値を用いる。
• マーラー測度とランダムウォークの関係を用いて、$\mu_n(1+x+y)$ の構造を動機づけ、格子パス積分と関連付ける。
• 一般化されたジェンセンの公式とポリログ関数の解析接続を用い、特異性を扱い、対数積分を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対数正弦積分とポリログ関数を用いて、$n=1,2,3,4$ の場合の多重マーラー測度 $\mu_n(1+x+y)$ を閉形式で表せるか？
• RQ2 超幾何展開と積分還元を用いて、$\mu_3(1+x+y)$ および $\mu_4(1+x+y)$ の予想される評価値を厳密に導出できるか？
• RQ3 対数正弦積分技法を用いて、特定のローレンツ多項式のマーラー測度に関するボイスの1998年の2つの予想を証明できるか？
• RQ4 二重積分表現における内側の積分の構造は何か？ そして、これは多重調和ポリログ関数に還元できるか？
• RQ5 特に $\theta = \pi/3$ において、一般化された対数正弦積分フレームワークから新しいマーラー測度を導出できるか？

主な発見

• 本稿は、モジュラー形式から得られる $a_n$ を用いた $15\sum_{n=1}^\infty a_n/n^2$ としてのボイスの予想 $\mu(1+x+y+1/x+1/y) = 15\sum_{n=1}^\infty a_n/n^2$ を、対数正弦積分フレームワークを用いて証明する。
• 新しいマーラー測度が導出された：$\mu_{-1} = \mu((x+1)^2(y^2+y+1) - 2xy)$ は、超幾何関数とベータ関数の組み合わせとして表現される。
• $\mu_1(1+x+y) = \frac{3}{2\pi}\operatorname{Ls}_2(2\pi/3)$、$\mu_2(1+x+y) = \frac{3}{\pi}\operatorname{Ls}_3(2\pi/3) + \frac{\pi^2}{4}$、$\mu_3(1+x+y)$ は $\operatorname{Ls}_4(2\pi/3)$、$\operatorname{Cl}_4(\pi/3)$、$\operatorname{Cl}_2(\pi/3)$、および $\zeta(3)$ を用いて評価される。
• $\mu_4(1+x+y)$ は $\operatorname{Ls}_5(2\pi/3)$、$\operatorname{Ls}_5(\pi/3)$、$\operatorname{Gl}_{4,1}(2\pi/3)$、$\operatorname{Gl}_{2,1}(2\pi/3)$、$\operatorname{Cl}_2(\pi/3)^2$、および $\pi^5$ の組み合わせとして表現され、予想された形を確認する。
• 二重積分台形則と有限差分法を用いて、$n=2$ から $8$ まで $250$ 桁の精度で数値的検証を行い、解析的結果を確認した。
• $\mu_3(1+x+y)$ の評価は、$\frac{6}{\pi}\operatorname{Ls}_4(2\pi/3) - \frac{9}{\pi}\operatorname{Cl}_4(\pi/3) - \frac{\pi}{4}\operatorname{Cl}_2(\pi/3) - \frac{13}{2}\zeta(3)$ であると予想され、数値的根拠が提供された。