[論文レビュー] Long time behavior of 2d water waves with point vortices

Qingtang Su|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2018

Navier-Stokes equation solutions参考文献 49被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、無限深さにおける2次元非粘性非圧縮性水波と点渦を対象とし、長時間の動的挙動を調査する。ターラー符号条件の下で局所的適切性を確立し、下向きに移動する対称的渦対が、初期データ $ \epsilon \ll 1 $ に対して少なくとも $ O(\epsilon^{-2}) $ の寿命を持つ滑らかな自由界面を保証することを証明する。

ABSTRACT

In this paper, we study the motion of the two dimensional inviscid incompressible, infinite depth water waves with point vortices in the fluid. We show that Taylor sign condition $-\frac{\partial P}{\partial \boldmath{n}}\geq 0$ can fail if the point vortices are sufficient close to the free boundary, so the water waves could be subject to the Taylor instability. Assuming the Taylor sign condition, we prove that the water wave system is locally wellposed in Sobolev spaces. Moreover, we show that if the water waves is symmetric with a certain symmetric vortex pair traveling downward initially, then the free interface remains smooth for a long time, and for initial data of size $ε\ll 1$, the lifespan is at least $O(ε^{-2})$.

研究の動機と目的

• 2次元無限深さの水波に点渦を含む系の長時間挙動を分析すること。
• 点渦が自由表面に近接している場合、ターラー符号条件 $ -\partial_n P \geq 0 $ が破綻する可能性があるかを調査すること。
• ターラー符号条件の下でソボレフ空間において局所的適切性を確立すること。
• 下向きに移動する対称的初期配置を有する点渦対に対して、滑らかな解の長時間存在を証明すること。
• 初期データ $ \epsilon \ll 1 $ に対して滑らかな解の寿命を定量的に評価し、少なくとも $ O(\epsilon^{-2}) $ であることを示すこと。

提案手法

• 自由境界をパrametrizeするためのラグランジュ座標を用い、界面および速度の時間発展方程式を導出する。
• 複雑な幾何構造を扱うためにバーキホフ＝リッチ変換を導入し、問題を単位円上の系に簡略化する。
• 非線形項をソボレフノルムで制御するため、ヒルベルト変換および交換子推定を適用する。
• 正則性を追跡するために、$ \mathfrak{F} $、$ D_t\mathfrak{F} $、および $ \zeta_\alpha - 1 $ を含む修正エネルギー関数を導入する。
• 連続性論法およびブートストラップ推定を用いて解の寿命を延長し、$ \epsilon $ の小ささおよび渦の分離に依存する。
• ソボレフ埋没および $ L^\infty $ 制御を用いて、時間経過に伴うラグランジュ写像の微分 $ \kappa_\alpha $ の変化を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 点渦が自由表面に近接している場合、ターラー符号条件 $ -\partial_n P \geq 0 $ が破綻する可能性はあり、これがターラー不安定性を引き起こすおそれがあるか？
• RQ2 点渦を含む水波系が、どのような条件下でソボレフ空間において局所的適切性を有するか？
• RQ3 初期渦配置に対称性（特に下向きに移動する渦対）がある場合、滑らかな長時間的進化が実現するか？
• RQ4 初期データ $ \epsilon \ll 1 $ に対して、滑らかな解の寿命の定量的下界は何か？
• RQ5 渦に起因する速度場およびその特異性は、自由表面の長期間にわたる正則性にどのように影響するか？

主な発見

• 点渦が自由境界に十分に近接している場合、ターラー符号条件 $ -\partial_n P \geq 0 $ が破綻する可能性があり、これはターラー不安定性の兆候である。
• ターラー符号条件の下で、点渦を含む水波系は、$ s > 5/2 $ に対してソボレフ空間 $ H^s $ において局所的適切性を有する。
• 下向きに移動する対称的初期データを有する渦対に対して、自由界面は $ \epsilon \ll 1 $ のとき少なくとも $ O(\epsilon^{-2}) $ の時間間隔にわたり滑ららかに保たれる。
• 寿命推定 $ O(\epsilon^{-2}) $ は、エネルギー推定およびラグランジュ写像の微分 $ \kappa_\alpha $ の $ L^\infty $ 制御を用いたブートストラップ議論により導出される。
• 解析により、ターラー条件が満たされ、初期データが小さい限り、渦に起因する渦速度場が界面を不安定化しないことが示された。
• 正則性の持続性を保証するため、$ \|\zeta_\alpha - 1\|_{H^s} $、$ \|\mathfrak{F}\|_{H^{s+1/2}} $、および $ \|D_t\mathfrak{F}\|_{H^s} $ の差を $ O(\epsilon) $ のオーダーで制御することが証明に不可欠である。