[論文レビュー] Long time behavior of diffusions with Markov switching

Jean-Baptiste Bardet, Hélène Guérin+1 more|ArXiv.org|Dec 16, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 7被引用数 37

ひとこと要約

この論文は、有限状態のエルゴード的マコフスイッチング過程に従うオーランシュタイン・アトラヒューブ型拡散過程の不変分布の尾挙動について、モデルパラメータに基づいて三つの明確に区別できる領域—重尾、指数関数的類似、ガウス類似の尾—に三つに分類することを確立している。また、スイッチング過程とドリフト・拡散係数に関連する行列のスペクトル解析を用いて、平衡分布への収束速度を定量的に評価している。

ABSTRACT

Let $Y$ be an Ornstein-Uhlenbeck diffusion governed by an ergodic finite state Markov process $X$: $dY_t=-λ(X_t)Y_tdt+σ(X_t)dB_t$, $Y_0$ given. Under ergodicity condition, we get quantitative estimates for the long time behavior of $Y$. We also establish a trichotomy for the tail of the stationary distribution of $Y$: it can be heavy (only some moments are finite), exponential-like (only some exponential moments are finite) or Gaussian-like (its Laplace transform is bounded below and above by Gaussian ones). The critical moments are characterized by the parameters of the model.

研究の動機と目的

• 有限状態のエルゴード的マコフスイッチング過程によって駆動されるオーランシュタイン・アトラヒューブ型拡散過程の長期的挙動を特徴づけること。
• 従来の仮説が示唆したように、不変分布の尾挙動が厳密に二分法的であるか、あるいは第三の領域を有するかという未解決の問題を解明すること。
• 生成子から導かれる行列のスペクトル解析とカップリング技術を用いて、不変測度への収束速度を定量的に確立すること。
• モデルパラメータに基づいて、不変分布が重尾、指数関数的類似、ガウス類似の尾を示す正確な条件を特定すること。
• スイッチング生成子とドリフト係数を含む行列の固有値半径を用いて定義される新しいパラメータ $\kappa$ を導入することで、既存のモーメントの存在性とエルゴード性に関する結果を拡張すること。

提案手法

• スイッチング過程 $X_t$ が有限状態で不可約な連続時間マコフ過程であると仮定し、ドリフト $\lambda(X_t)$ と拡散係数 $\sigma(X_t)$ がこの過程に従ってスイッチングするジャンプ・ディフュージョンとしてプロセスをモデル化する。
• SDEの明示的解を用いて $Y_t$ を確率積分として表現し、ランダムな時間依存係数を有する形にすることで、不変測度の解析を可能にする。
• スイッチング過程の生成子 $A$ とドリフト $\lambda$ を用いて行列 $A_p = A - p\Lambda$ を定義し、$\eta_p = -\max\{\mathrm{Re}(\gamma) \mid \gamma \in \mathrm{Spec}(A_p)\}$ を導入して尾挙動を特徴付ける。
• 臨界パラメータ $\kappa = \sup\{p \geq 0 \mid \eta_p > 0\}$ を定義し、$\kappa \leq \infty$ として、$(0,\kappa)$ で $\eta_p > 0$、$(\kappa,\infty)$ で $\eta_p < 0$ となるようにし、尾の領域を決定する。
• 異なる初期分布を持つ二つのプロセス間のカップリング技術を適用し、スイッチング過程にはスティッキー・カップリングを、拡散経路には共通のブラウン運動を用いてカップリングを実施する。
• カップリング時間とスペクトルパラメータ $\eta_p$ を用いて、Wasserstein距離 $W_p(\mathcal{L}(Y_t), \mathcal{L}(\tilde{Y}_t))$ の指数的バインドを導出し、$c = \frac{\gamma \eta_p}{\gamma + s \eta_p}$ を用いた $\exp(-c t)$ のオーダーの収束速度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マコフスイッチング付き拡散過程の不変分布が重尾、指数関数的類似、ガウス類似の尾を示す正確な条件は何か？
• RQ2 臨界パラメータ $\kappa = \sup\{p \geq 0 \mid \eta_p > 0\}$ は、モーメントの存在性と不変測度の尾挙動とどのように関係しているか？
• RQ3 このような拡散過程の平衡分布への収束が、明示的な指数的レートで定量的に評価可能か？また、そのレートはスイッチングダイナミクスにどのように依存するか？
• RQ4 従来知られていた重尾と軽尾の二分法が不十分である場合、どのような第三の領域が出現するか？
• RQ5 拡散係数 $\sigma(x)$ とジャンプレート $a(x)$ は、尾挙動と収束速度にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 拡散過程の不変分布は尾挙動において三つに分類される：$\underline{\lambda} < 0$ かつ $\kappa < \infty$ のとき重尾、$\underline{\lambda} \geq 0$ かつ $\kappa < \infty$ のとき指数関数的類似、$\underline{\lambda} \geq 0$ かつ $\kappa = \infty$ のときガウス類似。
• $\kappa = \sup\{p \geq 0 \mid \eta_p > 0\}$ は尾の領域を決定する臨界パラメータであり、$\eta_p$ は $(0,\kappa)$ で連続的かつ正、$(\kappa, \infty)$ で負、$p \uparrow \kappa$ のとき $\eta_p \to 0$ に収束する。
• $\underline{\lambda} < 0$ のとき、尾は多項式的減衰を示す：$t^\kappa \nu((t,\infty)) \to C > 0$ が $t \to \infty$ のとき成り立ち、$\kappa$ はスイッチング行列とドリフトを用いて定義される $M_p$ に対して $\rho(M_p) = 1$ を満たす唯一の解である。
• $\underline{\lambda} \geq 0$ のとき、不変測度はすべてのモーメントを持つ（$\kappa = \infty$ の場合）、尾はガウス類似となる：$\nu$ のラプラス変換はガウス関数によって下限と上限で抑えられる。
• Wasserstein距離 $W_p(\mathcal{L}(Y_t), \mathcal{L}(\tilde{Y}_t))$ は、$\frac{\gamma \eta_p}{\gamma + s \eta_p}$ のレートで指数的に減少し、$\gamma$ と $s$ はカップリング時間とモーメントの順序に関係する。
• 平衡分布への収束は定量的に評価可能であり、$W_p(\mathcal{L}(Y_t), \mathcal{L}(\tilde{Y}_t))^p \leq C_1 e^{-c t} + C_2 e^{-\eta_p t}$ が成り立ち、$c = \frac{\gamma \eta_p}{\gamma + s \eta_p}$ であり、収束速度が $\eta_p$ とカップリングパラメータに依存することが示された。