[论文解读] Loop Groups, Higgs Fields and Generalised String Classes

Raymond F. Vozzo|ArXiv.org|Jun 26, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 35被引用 5

一句话总结

本文将环群丛的弦类障碍推广至基于环群丛（ΩG-丛）的高阶特征类，通过丛丛（bundle gerbes）几何化实现示性类的转递映射。本文建立了ΩG-丛的陈-韦伊型理论，并将caloron对应关系扩展至LG⋊S¹-丛，通过中心扩张与希格斯场提供提升障碍的显式de Rham代表。

ABSTRACT

We consider various generalisations of the string class of a loop group bundle. The string class is the obstruction to lifting a bundle whose structure group is the loop group $LG$ to one whose structure group is the Kac-Moody central extension of the loop group. We develop a notion of higher string classes for bundles whose structure group is the group of based loops, $ΩG$. In particular, we give a formula for characteristic classes in odd dimensions for such bundles which are associated to characteristic classes for $G$-bundles in the same way that the string class is related to the first Pontrjagyn class of a certain $G$-bundle associated to the loop group bundle in question. This provides us with a theory of characteristic classes for $ΩG$-bundles analogous to Chern-Weil theory in finite dimensions. This also gives us a geometric interpretation of the well-known transgression map $H^{2k}(BG) o H^{2k-1}(G).$ We also consider the obstruction to lifting a bundle whose structure group is not the loop group but the semi-direct product of the loop group with the circle, $LG times S^1$. We review the theory of bundle gerbes and their application to central extensions and lifting problems and use these methods to obtain an explicit expression for the de Rham representative of the obstruction to lifting such a bundle. We also relate this to a generalisation of the so-called `caloron correspondence' (which relates $LG$-bundles over $M$ to $G$-bundles over $M imes S^1$) to a correspondence which relates $LG times S^1$-bundles over $M$ to $G$-bundles over $S^1$-bundles over $M$.

研究动机与目标

• 发展ΩG-丛的高阶特征类理论，类比有限维情形下的陈-韦伊理论。
• 通过丛丛与希格斯场，几何化实现同调群映射H²ᵏ(BG) → H²ᵏ⁻¹(G)的转递。
• 将caloron对应关系从M上的LG-丛扩展至M上的LG⋊S¹-丛，建立其与M上S¹-丛上的G-丛之间的联系。
• 通过中心扩张与丛丛，为LG⋊S¹-丛的提升问题中的障碍类提供显式de Rham代表。
• 将弦结构的概念从LG-丛推广至涉及环群与圆群的半直积丛。

提出的方法

• 使用丛丛与提升丛丛来建模环群的中心扩张，并对结构群为LG的主丛进行分类。
• 应用希格斯场构造LG-丛与LG⋊S¹-丛的分类映射，将其与特征类联系起来。
• 通过路径纤维化与单纯线丛对L∨G-丛的分类，构造L∨G-丛的普遍弦类。
• 利用上同调中的转递映射，将G-丛的特征类与ΩG-丛的特征类关联，提供几何解释。
• 通过S¹在LG上的作用及其相关的扭曲等变结构，推导出LG⋊S¹-丛中障碍类的显式de Rham代表。
• 利用LG⋊S¹-丛与M上S¹-丛上的G-丛之间的对应关系，提升分类映射并推导障碍形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 LG-丛的弦类障碍如何推广至ΩG-丛的高阶特征类？
• RQ2 H²ᵏ(BG) → H²ᵏ⁻¹(G)的转递映射在丛丛与希格斯场下的几何实现为何？
• RQ3 caloron对应关系如何从LG-丛扩展至LG⋊S¹-丛？其相应的丛论对应关系为何？
• RQ4 LG⋊S¹-丛的提升问题中障碍类的显式de Rham代表为何？
• RQ5 希格斯场与丛上的扭曲等变结构如何与ΩG-丛的特征类相关？

主要发现

• 本文构造了ΩG-丛在奇数维的特征类理论，其自然关联于G-丛的特征类，将弦类推广为第一庞特里亚金类的转递。
• 通过丛丛与希格斯场，为映射H²ᵏ(BG) → H²ᵏ⁻¹(G)的转递提供了几何解释，将上同调运算与几何结构联系起来。
• 通过S¹在LG上的作用及其相关的提升丛丛，推导出LG⋊S¹-丛中提升问题障碍类的显式de Rham代表。
• 通过路径纤维化与单纯线丛对L∨G-丛的分类，构造了L∨G-丛的普遍弦类。
• 建立了LG⋊S¹-丛的同构类与M上S¹-丛上的G-丛的同构类之间的双射对应，扩展了caloron对应关系。
• 证明了丛P → P/LG同构于通过评价映射γ ↦ γ(1)从LG到G的结构群扩张，确认了几何提升构造的一致性。