[論文レビュー] Loop Quantization of Maxwell Theory and Electric Charge Quantization

Alejandro Corichi, Kirill Krasnov|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 1997

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 14被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、マクスウェル理論のループ量子化が、電荷の次元を持つ基本的パラメータ $\varepsilon$ を導入することを示しており、その結果、電荷は $\hbar/4\pi\varepsilon$ の単位で量子化される。観測された電子電荷との整合性が要求されることで $\varepsilon$ が固定され、曖昧性が解消される。これはループ量子重力理論における $\beta$-曖昧性と類似しており、ブラックホールエントロピーなどの巨視的予測を通じて同様の解決が可能であることを示唆する。

ABSTRACT

We consider the loop quantization of Maxwell theory. A quantization of this type leads to a quantum theory in which the fundamental excitations are loop-like rather than particle-like. Each such loop plays the role of a quantized Faraday's line of electric flux. We find that the quantization depends on an arbitrary choice of a parameter e that carries the dimension of electric charge. For each value of e an electric charge that can be contained inside a bounded spatial region is automatically quantized in units of hbar/4*pi*e. The requirement of consistency with the quantization of electric charge observed in our Universe fixes a value of the, so far arbitrary, parameter e of the theory. Finally, we compare the ambiguity in the choice of parameter e with the beta-ambiguity that, as pointed by Immirzi, arises in the loop quantization of general relativity, and comment on a possible way this ambiguity can be fixed.

研究の動機と目的

• マクスウェル理論のループ量子化がどのように電荷の量子化をもたらすかを調査すること。
• ループ量子化手順における自由パラメータ $\varepsilon$ の起源を特定すること。
• 自然における観測された電荷の量子化と整合性を要求することによって $\varepsilon$ の値を固定できるかを同定すること。
• $\varepsilon$-曖昧性とループ量子重力理論における $\beta$-曖昧性の間の形式的類似性を描くこと。
• ブラックホールエントロピーなどの巨視的予測を通じて、量子重力理論における $\beta$-パラメータを固定するメカニズムを提案すること。

提案手法

• 電磁ポテンシャル $A_a$ から、電荷の次元を持つパラメータ $\varepsilon$ を用いて、U(1) 接続場 $\frac{i}{\varepsilon}A_a$ を構成する。
• 経路 $\gamma$ 沿いのホロノミー演算子 $h_\gamma = \exp\left(\frac{i}{\varepsilon}\int_\gamma A\right)$ を基本的な配置観測量として定義する。
• フラックス演算子 $E[S] = \int_S E_{ab} d\sigma^{ab}$ を共共役運動量として導入し、ポアソン括弧 $\{h_\gamma, E[S]\} = \frac{i}{\varepsilon} h_\gamma I(\gamma, S)$ を満たす。
• ホロノミーとフラックスの代数を用いて、スピンネットワーク状態を用いた運動論的量子理論を定義し、スピン $j$ でラベル付けされたエッジが量子化されたフラックスチューブを表す。
• 電荷演算子のスペクトルを導出し、領域内の全電荷が $\hbar/4\pi\varepsilon$ の単位で量子化されることを示す。
• $\varepsilon$ を、最小の電荷単位が電子電荷と一致するように固定し、$\varepsilon = \frac{n}{4\pi\alpha}e$ が得られ、$n=1$ のとき $\varepsilon^2/\hbar \approx 0.87$ となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マクスウェル理論のループ量子化は、どのように電荷の量子化をもたらすか？
• RQ2 ループ量子化におけるパラメータ $\varepsilon$ の物理的起源と役割は何か？
• RQ3 自然における観測された電荷の量子化と整合性を要求することによって $\varepsilon$ の値を固定できるか？
• RQ4 マクスウェル理論における $\varepsilon$-曖昧性とループ量子重力理論における $\beta$-曖昧性の間にはどのような類似性があるか？
• RQ5 ブラックホールエントロピーのような巨視的予測を用いて、ループ量子重力理論における $\beta$-パラメータを固定できるか？

主な発見

• マクスウェル理論のループ量子化は、電荷の次元を持つ自由パラメータ $\varepsilon$ を導入し、その結果、電荷の量子化単位は $\hbar/4\pi\varepsilon$ となる。
• 自然における電荷の観測された量子化、特に電子電荷との整合性により、$\varepsilon$ は $\varepsilon = \frac{1}{4\pi\alpha}e$（$n=1$ のとき）に固定され、$\varepsilon^2/\hbar \approx 0.87$ となる。
• 量子理論における電荷演算子のスペクトルは離散的であり、$\hbar/4\pi\varepsilon$ に比例し、最小非ゼロ電荷単位は $\varepsilon$ によって決定される。
• $\varepsilon$ の曖昧性は、異なる接続パラメータの選択が面積演算子のスペクトルを異なるものにする、ループ量子重力理論における $\beta$-曖昧性と類似している。
• 量子重力理論における $\beta$-曖昧性は、理論的予測（例：ブラックホールエントロピー $S = cA/\beta l_p^2$）とベケンシュタイン＝ホーキングの公式 $S = A/4l_p^2$ の比較によって解消可能である。
• この比較により $\beta = 4c$ が得られ、ブラックホールエントロピーのような巨視的予測と既存の熱力学的法則との整合性を通じて $\beta$ を固定するメカニズムが得られる。