[論文レビュー] Lorentz Invariant Majorana Formulation of the Field Equations and Dirac-like Equation for the Free Photon

Tomislav Ivezić|ArXiv.org|May 3, 2006

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 14被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、クライフォード代数を用いて、ローレンツ不変で4次元幾何的形式化された電磁力学を提示する。ここで複素1次ベクトル $Ψ = E - icB$ は、相対論的に共変な場変数として機能する。自由光子のディラックに類似した波動方程式を、ローレンツ変換に対して明示的に不変となる形で導出する。3次元のフレーム依存のマジョラナ形式に代わり、絶対的幾何量（AQs）と座標に基づく幾何量（CBGQs）に依存する完全に共変な4次元的アプローチを採用する。

ABSTRACT

In this paper we present a new geometric formulation (Clifford algebra formalism) of the field equations, which is independent of the reference frame and of the chosen system of coordinates in it. This formulation deals with the complex 1-vector $Ψ=E-icB$ ($i$ is the unit imaginary), which is four-dimensional (4D) geometric generalization of Majorana's complex 3D quantity $\mathbfΨ=\mathbf{E}-ic\mathbf{B}$. When the sources are absent the field equations with the complex $Ψ$ become Dirac-like relativistic wave equations for the free photon. In the frame of ``fiducial'' observers (the observers who measure fields are at rest) and in the standard basis the component form of the field equations with 4D $Ψ$ reproduces the component form of Majorana-Maxwell equations with 3D field $\mathbfΨ$. The important differences between the approach with the 4D $Ψ$ and that one with the 3D $\mathbfΨ$ are discussed.

研究の動機と目的

• 4次元幾何代数を用いて、3次元空間的ベクトルに依存しないローレンツ不変なマクスウェル方程式の形式化を構築すること。
• 従来の3次元マジョラナ複素場 $\mathbf{\Psi} = \mathbf{E} - ic\mathbf{B}$ を、ローレンツ変換に対して適切に変換する4次元幾何的対象 $\Psi = E - icB$ に置き換えること。
• 4次元絶対的幾何量（AQs）と座標に基づく幾何量（CBGQs）を用いた新しい対応原理を確立し、相対論的不変性を保証すること。
• 自由光子の明示的に共変なディラックに類似した相対論的波動方程式を導出し、基準観測者フレームに依存しないこと。
• 4次元場 $E$ と $B$（および $\Psi$）が、従来の見解とは異なり、独立した物理的実在性を持つことを示し、実験的一致性によって裏付けること。

提案手法

• 電磁場を4次元複素1次ベクトル $\Psi = E - icB$ を用いて定式化し、ここで $E$ と $B$ は電場および磁場を表す4次元絶対的幾何量（AQs）である。
• 複素数上の幾何代数形式を用い、階数射影および幾何積を用いて場の方程式とディラックに類似した作用素を定義する。
• 標準的な $\{\gamma_\mu\}$ 基底を用い、4次元AQsとCBGQsの両方を用いて、ローレンツ共変性を保証する形で、方程式（7, 8, 9, 10, 12, 13, 15）を導出する。
• AQsに対して式（11）を、CBGQsに対して式（14）を用いて、物理的観測量と相対論的波動作用素との間の一般化された対応原理を導入する。
• 双ベクトル場 $F$ に基づく電磁気学の公理的幾何的形式化を基盤とし、4次元 $\Psi$-に基づく方程式を導出する。
• 4次元 $\Psi$-に基づく方程式がローレンツ変換に対して不変であることを示し、これに対して3次元 $\mathbf{\Psi}$ 形式は運動系において共変性を失う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元幾何的形式化された電磁力学は、明示的にローレンツ不変で、参照フレームの選択に依存しない形で構築可能だろうか？
• RQ2 $\Psi = E - icB$ という4次元複素1次ベクトルはローレンツ変換に対してどのように変化するのか？また、光子の整合的な相対論的波動方程式を導けるのか？
• RQ3 4次元 $\Psi$ 形式と従来の3次元マジョラナ形式 $\mathbf{\Psi} = \mathbf{E} - ic\mathbf{B}$ の関係は何か？4次元形式はどのようにしてそれらを改善するのか？
• RQ4 $E$ と $B$ の4次元場は物理的に現実的で測定可能なものなのか、それとも従来の見解とは異なり、単なる補助的量なのか？
• RQ5 4次元 $\Psi$ とその共役 $\overline{\Psi}$ のみから、新しい共変なストレステンソル $T(n)$ および関連量（エネルギー密度、ポインティングベクトルなど）を構築可能だろうか？

主な発見

• 3次元の $\mathbf{\Psi}$ とは異なり、4次元の $\Psi = E - icB$ はローレンツ変換に対して適切な4次元幾何的対象として変換され、運動系において共変性を失わない。
• $j^\beta = 0$ の場合、$\Psi$ の場の方程式は、新しいディラックに類似した相対論的波動方程式（式12および15）に簡略化され、これは明示的にローレンツ不変であり、文献に既に報告されていない。
• 絶対的幾何量（AQs）を用いた4次元形式化により、物理法則が観測者のフレームや座標系に依存しなくなる。これに対して3次元 $\mathbf{\Psi}$ 形式はそのような依存性を有する。
• 4次元場 $E$ と $B$ が独立した物理的実在性を持つことが示され、ミュオン崩壊、マイケルソン・モーリー、ケネディ＝トールンダイク、アイves＝スティルウェル実験との実験的一致性によって裏付けられている。
• 4次元 $\Psi$-に基づく方程式は、基準観測者フレームと標準基底においてのみ3次元マジョラナ＝マクスウェル方程式の成分形を再現するが、本質的により一般で共変である。
• 4次元 $\Psi$-に基づく方程式から、$\Psi$ と $\overline{\Psi}$ のみを用いて、完全に共変かつ幾何学的に整合した新しいストレステンソル $T(n)$ および関連量（例えばエネルギー密度 $U$、ポインティングベクトル $S$）を導出可能であり、$F$-に基づく公理的形式化に類似した形である。