[論文レビュー] Lorentzian Connes Distance, Spectral Graph Distance and Loop Gravity

Carlo Rovelli|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2014

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ループ量子重力における離散的時空幾何に、コンヌーのスペクトル的距離のローレンツ型一般化を提案する。グラフに基づくディラック作用素に、辺に付随するミンコフスキー空間のベクトル $n_e$ を装着することで、物理的に自然なローレンツ共変なスペクトル幾何を構成する。距離は、ディラック作用素との有界な交換子を満たす関数の差の上界として定義され、4次元の距離に関する新規な枠組みを提供する。

ABSTRACT

Connes' formula defines a distance in loop quantum gravity, via the spinfoam Dirac operator. A simple notion of spectral distance on a graph can be extended do the discrete Lorentzian context, providing a physically natural example of Lorentzian spectral geometry, with a neat space of Dirac operators. The Hilbert structure of the fermion space is Lorentz covariant rather than invariant.

研究の動機と目的

• コンヌーのスペクトル的距離の公式をローレンツ型の符号に拡張し、離散的かつ因果的な量子時空において幾何的距離を定義可能にする。
• 長年の課題である、これまで一貫性のある共変な定式化を欠いていたループ量子重力における距離の定義を解決する。
• 局所的ローレンツフレームに結びついたヒルベルト構造の族によって、ローレンツ幾何を符号する離散的かつ有限次元のスペクトル三重体構造を確立する。
• 各辺ごとに時空的ミンコフスキー空間のベクトル $n_e$ をパラメータとする、2次元複体上の自然なディラック作用素の空間を定義し、離散的ローレンツ幾何を捉える。

提案手法

• 頂点上の複素数値関数の代数 $\bf A$、各頂点における $\mathbb{C}$-空間の直和 $\bf H$、行列要素 $\langle v|D|w\rangle = i\Gamma_{vw}$ を持つグラフディラック作用素 $D$ を用いて、グラフに基づくスペクトル三重体 $C = ({\rm \bf A}, {\rm \\bf H}, D)$ を定義する。
• 各辺 $e$ に付随するミンコフスキー空間のベクトル $n_e$ を用いて、グラフディラック作用素を装飾することでローレンツ構造を導入する。ここで $n_e$ は、三角形分割における空間的2セルの双対となる3形式に対応する。
• コンヌーの距離公式 $d(p,q) = \sup_f |f(p)-f(q)|$ を、制約 $\|[D,f]\| \leq 1$ の下で用い、グラフ上に物理的に意味のある距離を定義する。
• ディラック作用素 $D$ が、各ローカルローレンツフレームに対応するヒルベルト構造の族を持つフェルミオン空間 $\bf H$ 上に作用することを確立し、ローレンツ共変性（不変性ではない）を保証する。
• すべての可能なディラック作用素の空間を $\mathcal{D} = \otimes_e M^+$ と定義する。ここで $M^+$ は $\mathbb{R}^{3,1}$ 内の前向き光円錐であり、離散的ローレンツ幾何の自然なパラメータ化を提供する。
• 離散ディラック作用素 $S = i \sum_e \langle \psi | n_e | \psi \rangle$ が連続的ディラック作用素と関係づけられ、$n_e$ が離散化されたコテトラッド場として機能することが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンヌーのスペクトル的距離の公式を、ループ量子重力に適した離散的かつ有限次元の設定においてローレンツ型符号に一般化できるか？
• RQ2 2次元複体上のそのようなスペクトル三重体が、量子時空における物理的に整合的かつローレンツ共変な距離定義を提供するか？
• RQ3 スピノーム上のディラック作用素の空間は自然にミンコフスキー空間のベクトル $n_e$ でパラメータ化可能であり、滑らかな幾何的構造を生み出すか？
• RQ4 この離散的ローレンツ型スペクトル三重体上のスペクトル作用素 $S = \mathrm{Tr}[\chi(D)]$ は、アインシュタイン＝ヒルベルト作用素の妥当な離散化と見なせるか？
• RQ5 ディラック作用素の空間 $\mathcal{D}$ における統合が、幾何の経路積分として解釈可能であり、スピノームのダイナミクスとコンヌーのスペクトル幾何を結びつけるか？

主な発見

• グラフ上のローレンツ型コンヌー距離は、$d(p,q) = \sup_f |f(p)-f(q)|$ で定義され、制約 $\|[D,f]\| \leq 1$ を満たす。このとき、作用素ノルムを用いる場合、距離はグラフにおける最短経路長に簡約される。
• 離散ディラック作用素は、各辺 $e$ に時空的ミンコフスキー空間のベクトル $n_e$ を割り当てることで完全に決定され、$n_e$ は三角形分割における空間的2セルの双対となる3形式を表す。
• フェルミオンヒルベルト空間 $\bf H$ には標準的な内積が存在しない。代わりに、各ローカルローレンツフレームに対応するヒルベルト構造の族を有し、これによりローレンツ共変性が保証される。
• すべての可能なディラック作用素の空間は $\mathcal{D} = \otimes_e M^+$ で与えられ、ここで $M^+$ は $\mathbb{R}^{3,1}$ 内の前向き光円錐であり、離散的ローレンツ幾何の自然なパラメータ化を提供する。
• 離散ディラック作用素 $S = i \sum_e \langle \psi | n_e | \psi \rangle$ は、連続的ディラック作用素の離散化であることが示され、$n_e$ は離散化されたコテトラッド場の役割を果たす。
• この構成は、スペクトル作用素 $S = \mathrm{Tr}[\chi(D)]$ が離散的設定においてアインシュタイン＝ヒルベルト作用素を近似可能であり、ローレンツ型重力のスペクトル的定式化への道筋を示唆している。