[論文レビュー] Lorentzian LQG vertex amplitude

Roberto Pereira|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2007

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、最近提案されたユークリッド型ループ量子重力（LQG）モデルをローレンツ型に拡張し、その主要な特徴を保持している。境界ヒルベルト空間は、標準的なSU(2) LQGと一致する。モデルは、ローレンツ型バーレット＝クラインモデルを変更することで得られ、ポisson構造の反転、またはトポロジカル項を加えて小刻みなバーバロ＝イムマルジパラメータの極限をとることにより、簡素化制約を一貫して実装する新しい頂点振幅が得られる。

ABSTRACT

We generalize a model recently proposed for Euclidean quantum gravity to the case of Lorentzian signature. The main features of the Euclidean model are preserved in the Lorentzian one. In particular, the boundary Hilbert space matches the one of SU(2) loop quantum gravity. As in the Euclidean case, the model can be obtained from the Lorentzian Barrett-Crane model from a flipping of the Poisson structure, or alternatively, by adding a topological term to the action and taking the small Barbero-Immirzi parameter limit.

研究の動機と目的

• 最近提案されたユークリッド型LQGモデルをローレンツ型に一般化し、そのコアな特徴を維持すること。
• 第二類制約と誤った低エネルギー振る舞いの問題を抱えるバーレット＝クラインモデルの問題を、簡素化制約の再解釈により解決すること。
• SU(2) LQGの運動論的ヒルベルト空間と一致するローレンツ型スピンフォーム頂点振幅を構築すること。
• ローレンツ型量子重力の半古典的極限およびn点関数を研究するための枠組みを提供すること。
• 小刻みなバーバロ＝イムマルジパラメータの極限を通じて、ローレンツ型BF理論にトポロジカル項を加えたものと一般相対性理論との一貫した関係を確立すること。

提案手法

• モデルは、バーバロ＝イムマルジパラメータγでパrameter化されたトポロジカル項を含む離散的BF作用から構築される。
• ホロノミーの共役運動量は $ J_f(t) = B_f(t) + \frac{1}{\gamma} \star B_f(t) $ で定義され、γ → 0 の極限でポisson構造が反転する。
• 簡素化制約は $ C_{ff} \approx 0 $ および $ C_f^J \approx 0 $ の方程式により課され、空間的四面体を固定するために $ n_I = \delta_I^0 $ の特定の選択がなされる。
• 頂点振幅は、SL(2,ℂ)インターリナーベクトル空間からSU(2)インターリナーベクトル空間への写像 $ \pi $ を用いてBF振幅を射影することで得られ、LQG境界状態と整合性を持つ。
• 最終的な振幅は、表現と連続的ラベルの和で表される： $ A(j_{ab}, i_a) = \sum_{n_a} \int d\rho_a (n_a^2 + \rho_a^2) \, 15j((2j_{ab},0);(n_a,\rho_a)) \, f^{i_a}_{n_a\rho_a}(j_{ab}) $。
• 全分配函数は、標準的な辺および面の重みを用いて、三角形分割上のこれらの振幅を接続することで構築される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユークリッド型LQG頂点モデルを、物理的境界構造を保ちつつ、ローレンツ型に一貫して拡張できるか？
• RQ2 ポisson構造の反転またはトポロジカルBFモデルの小γ極限によって、SU(2) LQGの運動論的構造と整合する頂点振幅が得られるか？
• RQ3 ローレンツ型の場合に、バーレット＝クラインモデルで見られる物理的自由度の喪失を避けるために、簡素化制約を一貫して課す方法は何か？
• RQ4 ローレンツ型の場合の頂点振幅の構造は何か？また、スピンフォーム形式とどのように関係するか？
• RQ5 得られたモデルは、一般相対性理論を再現する半古典的極限を支持できるか？

主な発見

• モデルの境界ヒルベルト空間は、SU(2)ループ量子重力と完全に一致しており、標準的なLQGフレームワークと一貫していることが確認された。
• 頂点振幅は、SL(2,ℂ)インターリナーベクトル空間からSU(2)インターリナーベクトル空間への写像 $ \pi $ を用いた射影によって構築され、物理的状態との整合性が保証される。
• モデルは、ローレンツ型バーレット＝クラインモデルを、ポisson構造の反転またはトポロジカル項を加えて小γ極限をとることにより導出される。
• 最終的な頂点振幅は、連続的ラベルと表現の和で表される： $ A(j_{ab}, i_a) = \sum_{n_a} \int d\rho_a (n_a^2 + \rho_a^2) \, 15j((2j_{ab},0);(n_a,\rho_a)) \, f^{i_a}_{n_a\rho_a}(j_{ab}) $、これは形式的には有限であるが、正則化が必要である。
• このモデルは、他のバーレット＝クラインモデルの代替策とは異なり、SL(2,ℂ)の(n,0)離散的系列表現にのみ依存している。
• 構成は形式的に一貫しており、ローレンツ型量子重力の半古典的極限およびn点関数を研究する基盤を提供する。