[論文レビュー] Lorenzen's proof of consistency for elementary number theory [with an edition and translation of "Ein halbordnungstheoretischer Widerspruchsfreiheitsbeweis'']

Thierry Coquand, Stefan Neuwirth|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2020

Logic, programming, and type systems参考文献 39被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、1944年に発表されていなかったパウル・ローレンツェンの原稿を提示する。この原稿は、順序付けられた集合上の自由な可算完備擬補余半群を用いて、初等的数理論理の構成的かつカットなしの証明を与える。証明は順序数の割り当てを用いずに、論理式と導出の帰納的定義に依拠し、論理式の複雑さと導出構造の二重帰納法により、一貫性を確立する。また、Nの計算体系が一貫的であり、古典的述語論理の公理系を含むことを示している。

ABSTRACT

We present a manuscript of Paul Lorenzen that provides a proof of consistency for elementary number theory as an application of the construction of the free countably complete pseudocomplemented semilattice over a preordered set. This manuscript rests in the Oskar-Becker-Nachlass at the Philosophisches Archiv of Universit{ä}t Konstanz, file OB 5-3b-5. It has probably been written between March and May 1944. We also compare this proof to Gentzen's and Novikov's, and provide a translation of the manuscript.

研究の動機と目的

• 初等的数理論理の一貫性に関する1944年当時未発表のパウル・ローレンツェンの原稿を提示・翻訳すること。
• 自由な可算完備擬補余半群の存在が、初等的数理論理の一貫性を形式的に表現することを示すこと。
• ローレンツェンの証明をゲンツェンの順序数に基づくアプローチやノヴィコフのアプローチと比較し、その構成的かつ順序数フリーな性質に焦点を当てる。
• 帰納的定義と許容規則に基づく計算体系Nが一貫的であり、古典的述語論理の公理系を含むことを確立すること。
• 順序と含意を介して代数学（イデアル論）と論理学（命題的推論）を結ぶ格子論の構造が、どのように両者を結びつけるかを強調すること。

提案手法

• 順序付けられた集合上の自由な可算完備擬補余半群を、演繹的計算体系として構成する。
• 構造的規則（弱体化、収縮、カットなど）を含む帰納的規則によって導出を定義する。
• 論理式の複雑さと導出構造の二重帰納法により、カット規則の許容性を証明する。
• 無限超限前提帰納法を用いて、量化子規則と自由変数の取り扱いを処理し、置換に関して閉じていることを保証する。
• 重要な規則の追加とその正当化：恒等規則（A → A）、全称一般化規則（C → (x)A(x)）、完全帰納法規則（A(a) → A(a′) ⇒ A(1) → A(b)）。
• これらの規則を追加しても、導出可能な関係の集合が拡大しないことを示し、一貫性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ローレンツェンの初等的数理論理の一貫性証明は、ゲンツェンの順序数に基づくアプローチとどのように異なるか？
• RQ2 自由な可算完備擬補余半群の構成が、初等的数理論理の一貫性の形式的内容をどのように捉えているか？
• RQ3 順序数の割り当てを一切用いずに、導出の帰納的定義のみでカット除去を達成できるか？
• RQ4 格子論的構造は、代数学におけるイデアル論と論理学における証明理論の間のつながりをどのように形式化するか？
• RQ5 ローレンツェンの一貫性証明におけるω規則と完全帰納法の役割は何か？なぜそれらを追加しても導出可能な関係の集合が拡大しないのか？

主な発見

• 計算体系Nは一貫的である。空の関係 → は導出可能でない。なぜなら、基本系Pにおいては内容的に正しい関係のみが成り立つからであり、PはNの部分集合である。
• カット規則の許容性は、論理式の複雑さと導出構造の二重帰納法により証明され、順序数の割り当てを一切用いない。
• 自由変数に対する規則 A(a) → A(n) は許容的であり、無限超限前提帰納法により追加可能であり、導出可能な関係の集合を拡大しない。
• 恒等規則 A → A は、すべての論理式（素性論理式を含む）に対して導出可能である。これは →P と P → を組み合わせ、P → P を導出することで得られる。
• 完全帰納法規則 A(a) → A(a′) ⇒ A(1) → A(b) は許容的であり、m回のカット規則の適用により追加可能であり、導出可能な関係の集合を拡大しない。
• すべての許容規則を含む計算体系Nは、古典的述語論理の公理系を含む。これにより、初等的数理論理の一貫性が証明された。