[論文レビュー] Lossy kernels for connected distance-$r$ domination on nowhere dense graph classes

Sebastian Siebertz|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、任意の非稠密グラフクラスおよび任意の距離 $ r $ に対して、連結距離-$ r $ 支配集合問題が、任意の $ \alpha > 1 $ に対して多項式サイズの $ \alpha $-近似バイカーネルを有することを確立している。主な結果は、このようなロス付きカーネルが存在するのは非稠密クラスに限られることのタイトな特徴付けである。これは、ギャップ指数時間仮説（Gap Exponential Time Hypothesis）のもとでは、より一般の部分集合について閉じたどこにでも稠密なクラスではこのようなカーネルが存在しないことを示している。

ABSTRACT

For $α\colon\mathbb{N} ightarrow\mathbb{R}$, an $α$-approximate bi-kernel is a polynomial-time algorithm that takes as input an instance $(I, k)$ of a problem $Q$ and outputs an instance $(I',k')$ of a problem $Q'$ of size bounded by a function of $k$ such that, for every $c\geq 1$, a $c$-approximate solution for the new instance can be turned into a $c\cdotα(k)$-approximate solution of the original instance in polynomial time. This framework of \emph{lossy kernelization} was recently introduced by Lokshtanov et al. We prove that for every nowhere dense class of graphs, every $α>1$ and $r\in\mathbb{N}$ there exists a polynomial $p$ (whose degree depends only on $r$ while its coefficients depend on $α$) such that the connected distance-$r$ dominating set problem with parameter $k$ admits an $α$-approximate bi-kernel of size $p(k)$. Furthermore, we show that this result cannot be extended to more general classes of graphs which are closed under taking subgraphs by showing that if a class $C$ is somewhere dense and closed under taking subgraphs, then for some value of $r\in\mathbb{N}$ there cannot exist an $α$-approximate bi-kernel for the (connected) distance-$r$ dominating set problem on $C$ for any function $α\colon\mathbb{N} ightarrow\mathbb{R}$ (assuming the Gap Exponential Time Hypothesis).

研究の動機と目的

• 連結距離-$ r $ 支配集合問題のパラメータ化近似アルゴリズムにおけるロス付きカーネルの存在の正確な境界を特定すること。
• このようなカーネルが構築可能な最も一般なグラフクラス（特に非稠密クラス）を同定すること。
• この結果が、部分集合について閉じたより一般のどこにでも稠密なグラフクラスへは拡張できないことを示すこと。
• グラフクラスの構造的性質と近似カーネル化の可能性との間のタイトな関係を確立すること。

提案手法

• 近似保証を維持しつつ、インスタンスをより小さなものに縮小する前処理アルゴリズムを用いるロス付きカーネル化の枠組みを活用する。
• 解の $ \alpha $-近似を保持する多項式サイズのインスタンスを構築するために、$ (k,r) $-支配コアの概念を用いる。
• 特に、有界拡張性および低シャブディープ分解による非稠密クラスの特徴付けを用いた構造的グラフ理論の道具を適用する。
• 集合被覆問題から距離-$ r $ 支配集合問題への還元を用い、グラフクラスがどこにでも稠密であれば、ギャップ-ETHのもとで近似カーネルが存在しないことを示す。
• Lokshtanov らの結果に基づき、固定パラメータ可 tractable な近似アルゴリズムと近似カーネル化の間の同値性を用い、下界を転送する。
• すべての非稠密クラスが、$ r $ と $ \alpha $ に依存する次数および係数を持つ $ k $ の多項式関数としてのサイズの $ (k,r) $-支配コアを有することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非稠密グラフクラス上での連結距離-$ r $ 支配集合問題に対して、ロス付きカーネルを構築できるか？
• RQ2 近似カーネルを許容するグラフクラスと許容しないグラフクラスの正確な境界は何か？
• RQ3 このようなカーネルの存在は、非稠密性といったグラフクラスの構造的性質に依存するか？
• RQ4 カーネルの多項式サイズの上限を擬似線形サイズに改善できるか？
• RQ5 どこにでも稠密なクラスでは、標準的な複雑性仮定のもとで近似カーネルが存在しないという事実は成り立つか？

主な発見

• すべての非稠密グラフクラス、すべての $ \alpha > 1 $、およびすべての $ r \in \mathbb{N} $ に対して、連結距離-$ r $ 支配集合問題が、$ r $ に依存する次数および $ \alpha $ に依存する係数を持つ多項式 $ p(k) $ を用いてサイズ $ p(k) $ の $ \alpha $-近似バイカーネルを有することを示した。
• この結果はタイトである：グラフクラスがどこにでも稠密でかつ部分集合について閉じている場合、ギャップ指数時間仮説のもとでは、任意の関数 $ \alpha $ に対して $ \alpha $-近似バイカーネルは存在しない。
• 下界は、パラメータ $ k $ を正確に保持するように、集合被覆問題から距離-$ r $ 支配集合問題へのパラメータ化還元を用いて確立された。
• この構成は、非稠密クラスにおける多項式サイズの $ (k,r) $-支配コアの存在に依存しており、近似比を保持しながらインスタンスを圧縮するために用いられる。
• 本稿では、元の問題が W[2]-困難であるにもかかわらず、このようなクラス上での連結距離-$ r $ 支配集合問題が、$ k $ に関して多項式サイズのロス付きカーネルを有することを示した。
• 本研究は完全な特徴付けを提供する：この問題のロス付きカーネルが存在するのは、かつその場合に限り、グラフクラスが非稠密であるときである。