[論文レビュー] Lotka-Volterra with randomly fluctuating environments: a full description

Florent Malrieu, Tran Hoa Phu|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2016

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ランダムに切り替わる環境下における二種のロトカ・ヴォリエラ系の長期的挙動を完全に分類する。環境間の遷移レートに依存する侵入レートを分析することで、種の型に関わらず、任意の環境ペアが、両種の存続、片方の種の確実な絶滅、あるいは片方の種の確率的絶滅の4つの可能な長期的結果を、切り替えのダイナミクスに応じて得られることを示している。

ABSTRACT

In this note, we study the long time behavior of Lotka-Volterra systems whose coefficients vary randomly. Benam and Lobry established that randomly switching between two environments that are both favorable to the same species may lead to four different regimes: almost sure extinction of one of the two species, random extinction of one species or the other and persistence of both species. Our purpose here is to provide a complete description of the model. In particular, we show that any couple of environments may lead to the four different behaviours of the stochastic process depending on the jump rates.

研究の動機と目的

• ランダムな環境切り替え下でのロトカ・ヴォリエラ系の長期的確率的挙動を完全に特徴づけること。
• 二つの好都合な環境（例：タイプ1）が、切り替えレートに応じて複数の長期的結果を示すという驚くべき現象を解明すること。
• 絶滅、存続、確率的絶滅の各状態をパラメータに依存して完全に分類すること。
• 切り替えレートおよび環境パラメータの関数として、侵入レートの明示的表現を導出すること。
• 初期環境のタイプに関わらず、4つの動的状態がすべて可能であることを示すこと、特に存続的または好都合な環境であっても同様である。

提案手法

• 環境状態が二つで、それぞれの切り替えレートが λ₀ および λ₁ である、時変な確率的マーカフ過程（PDMP）としてシステムをモデル化する。
• 片方の種が絶滅の近くにいるときの、各々の種の時間平均成長率として侵入レート Λₓ および Λᵧ を定義する。この定義には、周辺過程の不変測度が用いられる。
• 内在的ダイナミクスと切り替え頻度の効果を分離するために、(u,v)座標に再パrameter化する。
• 侵入レート Λₓ および Λᵧ を、切り替えダイナミクス下で時定常分布を示す確率変数 Uᵤ,ᵥ を含む期待値として表現する。
• 侵入レートの符号を用いて長期的挙動を分類する：正であれば侵入、負であれば排除。
• 侵入レートのゼロ集合を分析し、(u,v)パラメータ空間内での異なる状態領域を分ける臨界曲線 vₓ(u) および vᵧ(u) を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の環境タイプのペア（例：タイプ1–1、タイプ3–3など）が、両種の存続、xの絶滅、yの絶滅、および確率的絶滅の4つの長期的挙動をすべて実現可能か？
• RQ2 切り替えレート（λ₀, λ₁）は、ランダムに切り替わるロトカ・ヴォリエラ系の長期的安定性および絶滅ダイナミクスにどのように影響するか？
• RQ3 システムが存続、確実な絶滅、または片方の種の確率的絶滅を示すのは、どのような条件下か？
• RQ4 種の侵入レートがゼロになる条件は何か？ そして、そのときの長期的挙動への影響は？
• RQ5 両方の環境が同じ種に対して好都合（例：タイプ1）であっても、切り替えダイナミクスのため、その種の確率的絶滅が生じ得るか？

主な発見

• 任意の環境ペアが、切り替えレートに応じて、両種の存続、xの絶滅、yの絶滅、確率的絶滅の4つの長期的挙動をすべて実現可能である。
• 臨界切り替えレート曲線 vₓ(u) および vᵧ(u) は、(u,v)パラメータ空間内で、異なる長期的挙動が生じる領域を分ける。
• タイプ1–1環境の場合、侵入レート Λᵧ は関数 φ(y) と確率変数 Uᵤ,ᵥ を含む期待値として表現でき、その期待値の符号が絶滅または存続を決定する。
• 両環境がタイプ3（存続的）である場合、切り替えのため、片方の種の絶滅が生じる可能性があり、環境ノイズの非単調な効果を示している。
• 侵入レート関数のゼロ集合は閉集合であり、臨界曲線 vₓ(u) および vᵧ(u) は特定の領域で連続的かつ単調である。特に、u → 0 のとき vᵧ(u) → ∞ であり、u → 1 のとき vᵧ(u) → 0 である。
• 数値的例示により、切り替えレートを変化させることで最大4つの異なる状態領域が得られ、決定論的系には存在しない新たな「確率的絶滅」状態が確認された。