[논문 리뷰] Low-depth Quantum State Preparation

Xiao‐Ming Zhang, Man‐Hong Yung외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 15.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 1인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 보조 큐비트를 활용하여 단일 및 이중 큐비트 게이트만을 사용해 N개의 복소 애먼티스를 n 큐비트 상태에 인코딩하는 확률적 양자 상태 준비 알고리즘을 제안한다. 이로 인해 회로 깊이가 O(n²)로 감소하며, 기존의 O(N) 깊이 기준보다 지수적 향상을 이루며, 최대 O(n) 큐비트에 걸쳐 얽힘을 유지하고, 무한한 보조 큐비트가 존재하더라도 여전히 회로 깊이에 대한 기본적인 Ω(n) 하한을 설정함으로써 최적의 공간-시간 트레이드오프를 입증한다.

ABSTRACT

A crucial subroutine in quantum computing is to load the classical data of $N$ complex numbers into the amplitude of a superposed $n=\lceil \log_2N ceil$-qubit state. It has been proven that any algorithm universally implementing this subroutine would need at least $\mathcal O(N)$ constant weight operations. However, the proof assumes that only $n$ qubits are used, whereas the circuit depth could be reduced by extending the space and allowing ancillary qubits. Here we investigate this space-time tradeoff in quantum state preparation with classical data. We propose quantum algorithms with $\mathcal O(n^2)$ circuit depth to encode any $N$ complex numbers using only single-, two-qubit gates and local measurements with ancillary qubits. Different variances of the algorithm are proposed with different space and runtime. In particular, we present a scheme with $\mathcal O(N^2)$ ancillary qubits, $\mathcal O(n^2)$ circuit depth, and $\mathcal O(n^2)$ average runtime, which exponentially improves the conventional bound. While the algorithm requires more ancillary qubits, it consists of quantum circuit blocks that only simultaneously act on a constant number of qubits and at most $\mathcal O(n)$ qubits are entangled. We also prove a fundamental lower bound $\mitΩ(n)$ for the minimum circuit depth and runtime with arbitrary number of ancillary qubits, aligning with our scheme with $\mathcal O(n^2)$. The algorithms are expected to have wide applications in both near-term and universal quantum computing.

연구 동기 및 목표

• 근접한 양자 컴퓨팅 및 보편 양자 컴퓨팅을 위한 고전적 데이터를 양자 중첩 상태에 효율적으로 로딩하는 문제를 해결하기 위해.
• 단지 n 큐비트만을 사용하는 표준 양자 상태 준비 알고리즘에서 발생하는 O(N) 회로 깊이 장벽을 극복하기 위해.
• 보조 큐비트를 도입하여 회로 깊이를 줄이면서도 국소성과 확장성을 유지함으로써 공간-시간 트레이드오프를 탐색하기 위해.
• 무한한 보조 큐비트가 존재하더라도, 임의의 n 큐비트 상태를 준비하는 데 있어 회로 깊이에 대한 기본적인 하한을 설정하기 위해.
• 고정된 가중치 연산만을 사용하고 낮은 얽힘 깊이를 유지하는 실용적이고 확장 가능한 양자 회로를 설계하기 위해.

제안 방법

• 보조 큐비트를 사용하여 O(N)에서 O(n²)로 회로 깊이를 감소시키는 확률적 양자 알고리즘을 도입하며, 여기서 n = log₂N이다.
• 각 층이 서로소인 큐비트 그룹에 대해 k-로컬 연산(k ≤ 2)을 적용하는 계층적 양자 회로 아키텍처를 활용하여 병렬 처리를 가능하게 한다.
• Nc개의 보조 큐비트에 복수의 복사본으로 저장된 고전적 데이터를 활용해 제어 연산과 후선택을 통해 상태 준비를 유도한다.
• 빛의 원추 분석을 적용하여, 각 출력 큐비트의 혼합 상태가 그의 빛의 원추 내부에 있는 입력 큐비트에만 의존한다는 것을 증명함으로써 깊이 하한을 확보한다.
• 다양한 변형을 설계: O(n) 보조 큐비트와 O(N²) 평균 실행 시간을 가진 순차적 버전, O(N²) 보조 큐비트와 O(n²) 평균 실행 시간을 가진 병렬 버전.
• 후선택 및 측정 기반 피드백을 구현하여 성공 확률을 향상시키며, 반비례 실행 시간 스케일링을 통해 O(1)의 성공률을 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 로컬 게이트만을 사용할 때, 회로 깊이를 N에 대해 비선형적으로 줄일 수 있는가?
• RQ2 보조 큐비트의 수에 관계없이, 임의의 n 큐비트 상태를 준비하는 데 있어 회로 깊이에 대한 기본적인 하한은 무엇인가?
• RQ3 보조 큐비트를 어떻게 활용하여 얽힘 복잡도를 증가시키지 않고 공간을 깊이로 전환할 수 있는가?
• RQ4 후선택 및 측정 기반의 확률적 방법은 국소성을 유지하면서도 실행 시간에 지수적 향상을 이룰 수 있는가?
• RQ5 저깊이 상태 준비를 위해 필요한 최대 얽힘 깊이는 얼마이며, 이는 N에 독립적으로 유계일 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 단일 및 이중 큐비트 게이트만을 사용하여 임의의 N차원 양자 상태를 O(n²)의 회로 깊이로 준비하며, 기존의 O(N) 기준에 비해 지수적 향상을 이룬다.
• O(N²) 보조 큐비트와 O(n²) 평균 실행 시간을 가진 병렬 버전은 순차 버전의 O(N²) 평균 실행 시간보다 실행 시간이 제곱근만큼 더 빠르며, 이는 이중적으로 빠른 성능 향상을 의미한다.
• 이 방법은 어떤 시점에도 최대 O(n) 큐비트에 걸쳐 얽힘을 유지하며, 근접한 장치와의 확장성과 호환성을 보장한다.
• 무한한 보조 큐비트가 존재하더라도, 임의의 n 큐비트 상태를 준비하는 데 있어 회로 깊이에 대한 기본적인 하한 Ω(n)이 증명되었으며, 이는 제안된 방법의 O(n²) 깊이가 최적임을 확인한다.
• 빛의 원추 분석은 양자 회로의 깊이가 각 출력 큐비트에 영향을 주는 입력 큐비트의 수와 정확히 연결되며, 엄밀한 하한을 도출할 수 있다.
• 이 방법은 고정된 가중치 연산과 다항로그 깊이를 갖추며 보편적인 양자 상태 준비를 가능하게 하여, 양자 기계학습, 양자 선형 대수학, 하밀토니안 시뮬레이션에 적합하다.