[論文レビュー] Low Frequency Asymptotics for Time-Harmonic Generalized Maxwell Equations in Nonsmooth Exterior Domains

Dirk Pauly|arXiv (Cornell University)|May 20, 2011

Numerical methods in inverse problems参考文献 36被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、無限遠で減衰する可変で異方的係数をもつ滑らかでない外部領域における時空間的一般化マクスウェル方程式の低周波数漸近挙動を確立する。限界吸収原理とフレドホルム理論を用いて、固有値がゼロに蓄積しないことを証明し、周波数がゼロに近づく際の時空間的解が電磁静的解に収束することを示し、非一様境界データへと拡張する。

ABSTRACT

We discuss the radiation problem of total reflection for a time-harmonic generalized Maxwell system in a non-smooth exterior domain with non-smooth inhomogeneous, anisotropic coefficients converging near infinity with a certain rate towards the identity. By means of the limiting absorption principle, a Fredholm alternative holds true and the eigensolutions decay polynomially resp. exponentially at infinity. We prove that the corresponding eigenvalues do not accumulate even at zero. Next, we show the convergence of the time-harmonic solutions to a solution of an electro-magneto static Maxwell system as the frequency tends to zero. Finally we are able to generalize these results easily to the corresponding Maxwell system with inhomogeneous boundary data. This paper is thought of as the first and introductory one in a series of three papers, which will completely discuss the low frequency behavior of the solutions of the time-harmonic Maxwell equations.

研究の動機と目的

• 時空間的一般化マクスウェル方程式の低周波数挙動を滑らかでない外部領域で解析すること。
• 時空間的系の固有値がゼロにスペクトル的蓄積を示さないことを確立すること。
• 周波数がゼロに近づく際の時空間的解が電磁静的解に収束することを証明すること。
• 非一様境界条件をもつ系へと漸近的結果を拡張すること。
• 時空間的マクスウェル系の低周波数挙動に関する3編の論文シリーズの基盤を築くこと。

提案手法

• 時空間的問題におけるフレドホルム代替の成立を保証するため、限界吸収原理を適用する。
• 滑らかでない境界および可変係数を取り扱うために、重み付きソボレフ空間とトレース理論を用いる。
• ホッジ分解とポテンシャル論を用いて、解を静的成分と放射成分に分解する。
• 重み付きソボレフ空間におけるコンパクト性の議論と収束定理を用いて、周波数 → 0 の極限を分析する。
• 静的問題の定式化を極限ケースとして用い、重み付きソボレフノルムにおける明示的収束を示す。
• トレース作用素を用いて非一様境界データを静的部品（境界データから）と動的部品（源項から）に分解することで、結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかでない外部領域における時空間的一般化マクスウェル系の固有値は、ゼロに蓄積するか？
• RQ2 可変で異方的係数をもつ領域における周波数がゼロに近づく際、時空間的解はどのように振る舞うか？
• RQ3 時空間的解の極限挙動は、電磁静的問題の解として特徴づけられるか？
• RQ4 非一様境界データの存在が低周波数漸近挙動に与える影響は何か？
• RQ5 限界吸収原理は、この文脈における適切な定式化と収束を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 滑らかでない境界および可変係数が存在する場合でさえ、時空間的一般化マクスウェル系の固有値はゼロに蓄積しない。
• 時空間的問題の解は、スペクトル的性質に応じて、無限遠で多項式的または指数的に減衰する。
• 周波数 ω → 0 のとき、時空間的解 (Eₘ, Hₘ) は、対応する電磁静的問題の唯一の解 (E, H) に重み付きソボレフ空間において収束する。
• 収束は、すべての t̃ < t に対して ⋂_{t̃<t} (R̃ₜ̃^q ∩ ε⁻¹D̃ₜ̃^q) × (μ⁻¹R̃ₜ̃^{q+1} ∩ D̃ₜ̃^{q+1}) の位相において成立する。
• データ列が適切に収束する限り、特定の周波数列 ωₘ → 0 に依存しない漸近極限が得られる。
• 境界データの非一様性は、境界データから得られる静的部品と源項から得られる動的部品に分解することで、結果に拡張可能である。