[論文レビュー] Low Order Finite Element Methods for the Navier-Stokes-Cahn-Hilliard Equations

Aleksander Lovrić, Wulf G. Dettmer+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2019

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 73被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、界面張力効果と相輸送を分離することで、それらを独立に制御可能な低次の有限要素法の定式化を2つ提案する。1つ目の手法は計算効率を高めるために安定化SUPG/PSPG線形要素を用い、2つ目の手法は精度を高めるために混合テイラー＝フッド要素を用いる。両定式化とも、界面張力有無の両方のベンチマーク解を正確に再現し、数値的安定性および保存性を確認した。

ABSTRACT

A computationally efficient, low order finite element formulation is developed for modelling the Navier-Stokes-Cahn-Hilliard equations, which have been established as a promising phase field modelling approach for simulation of immiscible multiphase flows. The present study suggests that traditional Navier-Stokes-Cahn-Hilliard models do not allow for surface tension effects to be neglected due to the presence of the surface tension parameter in the Cahn-Hilliard equation. This motivates the proposed formulation, which allows surface tension effects to be changed without affecting the behaviour of the phase transport. Two methods are proposed: The first uses stabilised SUPG/PSPG linear elements, while the second is based on mixed Taylor-Hood elements. The proposed models are applied to a number of benchmark and example problems, including both capillary regime in which surface tension effects are dominant, and inertial regime in which surface tension effects are negligibly small. All results obtained agree very well with reference solutions.

研究の動機と目的

• 従来のナビエ＝ストークス＝カーン＝ヒリャードモデルでは、界面張力を無効化できないため生じる制限に対処すること。
• 界面張力効果をゼロに設定しても相輸送の挙動に影響を与えない、計算的に効率的な有限要素法の定式化を開発すること。
• 低次の要素を用いても、キャピラリー支配および慣性支配の両流れ状態を正確かつ安定にシミュレートできることを保証すること。
• 界面張力有無の両ケースを含む既存のベンチマークと照合して定式化を検証すること。
• 体積保存性と参考解（ALEベースのシミュレーション含む）との整合性を示すこと。

提案手法

• 安定化SUPG/PSPG定式化を等次数の線形有限要素に適用し、低次の要素を用いた安定な解法と計算効率の向上を実現する。
• 比較的高い精度を実現するための代替手法として、混合テイラー＝フッド要素を用いる。
• 表面張力係数を相方程式から除去することで、表面張力効果を分離し、ゼロに設定しても数値的問題が生じないようにCahn-Hilliard方程式を変更する。
• Abelsらの熱力学的に整合性のあるモデルを基本定式化とし、表面張力を無効化可能にするために修正を加える。
• 表面張力がゼロの際には、数値的安定性を維持するため、移動度係数を $ D = 10^{-3} $ に増加させる。
• 時間積分と空間離散化を、キャピラリーおよび慣性の両領域を含むベンチマーク問題に対して一貫して適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cahn-Hilliard方程式において、界面張力効果を効果的に無効化しても数値的不安定性が生じないか。
• RQ2 表面張力がゼロに設定された場合でも、提案された定式化が正確な相輸送および体積保存性を維持できるか。
• RQ3 低次の安定化有限要素法と混合テイラー＝フッド要素法とを比較した場合、ナビエ＝ストークス＝カーン＝ヒリャードシミュレーションにおける精度および計算効率にどのような差が生じるか。
• RQ4 提案された定式化は、キャピラリー支配および慣性支配の両流れ状態において、どの程度参考解を正確に再現できるか。
• RQ5 表面張力を除去した場合でも、修正された定式化がエネルギー安定性および物理的整合性を保てるか。

主な発見

• 線形等次数要素を用いた安定化SUPG/PSPG定式化により、ナビエ＝ストークス＝カーン＝ヒリャード方程式の安定的かつ効率的な解法が可能となり、計算性能が顕著に向上した。
• 修正された定式化により、表面張力をゼロに設定しても数値的問題が生じず、表面張力効果が相動態から分離可能であることが確認された。
• 表面張力 $ \gamma = 0 $ のレイリー＝テイラー不安定性ケースにおいて、GuermondおよびQuartapelleの参考解と非常に良好な一致が得られ、界面位置はほぼ同一であった。
• 表面張力が存在しない場合を含め、すべてのテストケースにおいて2相の体積保存性が非常に高い精度で維持された。
• 安定化線形要素定式化の結果は、混合テイラー＝フッド定式化とほとんど区別がつかず、低次のにもかかわらずその正確性が検証された。
• キャピラリー支配および慣性支配の両流れ状態において、ベンチマーク解の正確な再現が達成され、あらゆる流れ状態にわたる強靭性が確認された。