[論文レビュー] Lower Bound for entanglement cost of antisymmetric states

Toshiyuki Shimono|ArXiv.org|Mar 8, 2002

Quantum Mechanics and Applications参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、構築された写像 Λ を用いて、縮約密度行列の固有値構造を分析することにより、2粒子 d 水準量子系における反対称状態の量子もつれコストの下界を確立する。もつれコストは少なくとも log₂(d/(d−1)) ebits であると証明し、3 水準反対称状態が 1 ebit を必要とするかどうかという未解決問題を解消した。d=3 の場合、下界は 0.585 ebits 以上であり、これがタイトであることが示された。

ABSTRACT

This report gives a lower bound of entanglement cost for antisymmetric states of bipartite d-level systems to be log_2 (d/(d-1)) ebit (for d=3, E_c >= 0.585...). The paper quant-ph/0112131 claims that the value is equal to one ebit for d=3, since all of the eigenvalues of reduced matrix of any pure states living in N times tensor product of antisymmetric space is not greater than 2^(-N) thus the von Neumann entropy is not less than N, but the proof is not true. Hence whether the value is equal to or less than one ebit is not clear at this moment.

研究の動機と目的

• 3 水準系における反対称状態のもつれコストが 1 ebit であるか、それ未満であるかという未解決問題を解消すること。
• 2粒子 d 水準系における反対称状態のもつれコストに対して、厳密な下界を提供すること。
• 過去の研究で、d=3 の場合、反対称状態の縮約密度行列のすべての固有値が ≤2⁻ᴺ であると主張したが、その証明に誤りがあることの是正。
• 反対称部分空間の構造的性質を用いて、任意の d に対して有効な一般化された下界を確立すること。
• もつれ形成とコスト階層を用いて、漸近的もつれコストを明確にすること。

提案手法

• 論文は、反対称部分空間 H₋ における密度行列から、1つの粒子系における縮約密度行列へ写像する線形写像 Λ を定義する。
• 双対写像 Λ† を導入し、写像の作用素ノルムを分析することで、縮約密度行列の最大固有値の上限を求める。
• 鍵となるステップは、H₋^⊗N に属する純粋状態の任意の縮約密度行列の最大固有値が (d−1/d)^N 以下であることを、構築された写像 Λ 及びその正定値性の性質を用いて証明すること。
• 完全正値（CP）写像の概念を用い、Choi-Jamiołkowski 同型を適用して、写像のノルムに関する境界を検証する。
• 混合状態への境界の拡張は、もつれ形成の定義とフォン・ノイマンエントロピーの凸性を用いる。
• 漸近的もつれコストは、1 粋あたりのもつれ形成の極限から導出され、最終的な下界が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3 水準系における反対称状態のもつれコストは、以前の主張通り 1 ebit に等しいか？
• RQ2 d 水準系における反対称状態のもつれコストの正しい下界は何か？
• RQ3 なぜ過去の証明で、d=3 の場合に縮約密度行列の固有値がすべて ≤2⁻ᴺ であると主張したのか、その誤りの原因は何か？
• RQ4 反対称部分空間の構造的性質を用いて、任意の d に対してもつれコストの一般化された下界を導出できるか？
• RQ5 d=3 の反対称状態のもつれコストは 0.585 ebits を超えるか？また、その下界はタイトか？

主な発見

• H₋^⊗N にサポートされる任意の混合状態のもつれコストは、N·log₂(d/(d−1)) ebits 以上に下界づけられる。
• d=3 の場合、下界は log₂(3/2) ≈ 0.58496 ebits となり、これは 1 ebit よりも厳密に小さい。
• 過去の主張（d=3 の反対称状態の縮約密度行列のすべての固有値が ≤2⁻ᴺ）に誤りがあることを特定し、最大固有値が 1/3 > 1/4 である反例を提示した。
• 任意の純粋状態の縮約密度行列の最大固有値が ≤(d−1/d)^N であることを証明することで、下界を導出した。
• この結果により、d=3 の反対称状態のもつれコストが 1 ebit であるとは限らず、むしろ 1 ebit よりも厳密に小さいことが確認された。
• 一般化された下界 log₂(d/(d−1)) ebits はすべての d≥2 に対して成り立ち、特定の状態の漸近的極限において、これが達成されること（タイト性）を示した。