[論文レビュー] Lower bounds for Gromov width in the SO(n) coadjoint orbits

Milena Pabiniak|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、特殊直交群 SO(2n+1) および SO(2n) の正則共伴軌道の Gromov 幅の下界を、Gelfand-Tsetlin 系とトーラス作用を用いて確立する。Gromov 幅は正のコルート α∨ に対して |⟨α∨,λ⟩| の最小値以上であることが示され、多くの場合で既知の上界と一致し、SO(2n+1) の特定の非正則軌道へも拡張される。

ABSTRACT

Let G be a compact connected Lie group G and T its maximal torus. The coadjoint orbit O_λ through λin the dual of the Lie algebra of T, is canonically a symplectic manifold. Therefore we can ask the question of its Gromov width. In many known cases the width is exactly the minimum over the positive results of pairing λwith coroots: min{< α_j^{\vee},λ> ; α_j^{\vee} is a coroot and < α_j^{\vee},λ> is positive}. We will show that the Gromov width for regular coadjoint orbits of the special orthogonal group is at least this minimum. The proof uses the torus action coming from the Gelfand-Tsetlin system.

研究の動機と目的

• SO(2n+1) および SO(2n) の正則共伴軌道の Gromov 幅をシンプレクティック不変量として特定すること。
• 文献に既に知られている上界と一致する下界を Gromov 幅に対して確立すること。
• Gelfand-Tsetlin 系の構造を用いて、SO(2n+1) の特定の非正則軌道へ結果を拡張すること。
• 運動量多面体を介した symplectic ball 埋め込みの Karshon-Tolman 定理を適用して、symplectic ball 埋め込みを構成すること。

提案手法

• Gelfand-Tsetlin 系を用いて、SO(2n+1) および SO(2n) の共伴軌道にハミルトニアン トーラス作用を定義する。
• Gelfand-Tsetlin 多面体を解析して、トーラス作用の等性重量を計算し、運動量写像の構造を特定する。
• Karshon-Tolman 定理（命題 2.2）を適用して、多面体の幾何を用いて symplectic ball 埋め込みを構成する。
• 正のコルート α∨ に対して |⟨α∨,λ⟩| の最小値を計算し、Gromov 幅の候補となる下界を定義する。
• Lie 代数およびその双対の明示的行列表現を L(a) および R(α) を用いて記述し、共伴軌道とその Weyl chambers を記述する。
• 所望の symplectic 埋め込みが存在することを保証するため、特性多項式が指定された so(2k)∗ 内の実行列を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SO(2n+1) および SO(2n) の正則共伴軌道の Gromov 幅は何か？
• RQ2 Gromov 幅の既知の上界が、幾何学的および表現論的技法を用いて下界としても達成可能か？
• RQ3 Gelfand-Tsetlin 系は、最小コルートペアリングに等しい半径の symplectic ball 埋め込みを構成するのに十分な構造を提供するか？
• RQ4 結果は正則軌道を越えて、特に SO(2n+1) においてどの程度拡張可能か？
• RQ5 Gelfand-Tsetlin トーラス作用の等性重量は、運動量多面体解析を用いて Gromov 幅を特定するのに十分か？

主な発見

• SO(2n+1) の正則共伴軌道の Gromov 幅は、min{λ₁−λ₂, ..., λₙ₋₁−λₙ, 2λₙ} 以上である。
• SO(2n) の正則共伴軌道の Gromov 幅は、min{λ₁−λ₂, ..., λₙ₋₁−λₙ, λₙ₋₁+λₙ} 以上である。
• SO(2n+1) では、最小値が同じ式で達成される特定の非正則軌道に対しても結果が拡張される。
• 下界は Zoghi が確立した上界と一致するため、これらのケースでは Gromov 幅が正確にこの最小値に等しいことが示される。
• symplectic 埋め込みの構成は Gelfand-Tsetlin 多面体と等性重量に依存し、最小コルートペアリングに等しい半径の球が存在することを保証する。
• 証明では、Gelfand-Tsetlin 系が中心付きハミルトニアン トーラス作用を提供することを用いて、Karshon-Tolman 定理による球埋め込みへの適用が可能になる。