[論文レビュー] Lower Bounds for the Decay of Correlations in Non-uniformly Expanding Maps

Huyi Hu, Sandro Vaienti|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、マルコフ分割や有界歪度が存在しない場合でさえも、コンパクトなR^nの部分集合上での非一様に拡大する写像における相関関係の崩壊の多項式的下界を確立する。バナッハ空間Bにおける転送作用素の最初の帰還写像への適用により、弱混合性をアペリオディシティと帰還時間のノルムの正確な尾部推定によって保証し、Bに属する観測量に対して、β = 1/γのときn^{β−1}のオーダーの多項式的崩壊率を証明する。これは、中立的固定点の近くで写像がx + x^{1+γ}に似ている場合に成立する。

ABSTRACT

We give conditions under which nonuniformly expanding maps exhibit lower bounds of polynomial type for the decay of correlations and for a large class of observables. We show that if the Lasota-Yorke type inequality for the transfer operator of a first return map are satisfied in a Banach space B, and the absolutely continuous invariant measure obtained is weak mixing, in terms of aperiodicity, then under some renewal condition, the maps have polynomial decay of correlations for observables in B. We also provide some general conditions that give aperiodicity for expanding maps in higher dimensional spaces. As applications, we obtain lower bounds for piecewise expanding maps with an indifferent fixed point and for which we also allow non-Markov structure and unbounded distortion. The observables are functions that have bounded variation or satisfy quasi-Hölder conditions and have their support bounded away from the neutral fixed points.

研究の動機と目的

• マルコフ分割や有界歪度が欠落している非一様に拡大する写像における相関関係の崩壊の下界を導出すること。
• 相関関係の崩壊が指数的ではなく多項式的である条件を特定すること。
• マルコフ構造が存在しない高次元写像に対し、アペリオディシティおよび弱混合性の結果を拡張すること。
• 有界変動または準ホルダー空間に属する観測量に対する崩壊率を確立すること。ただし、中立的固定点の近傍を除く。
• 高次元の拡大写像におけるアペリオディシティの一般条件を提供し、再生理論を相関関係の崩壊に適用可能にする。

提案手法

• 最初の帰還写像による誘導部分系における転送（ペロン＝フロベニウス）作用素の使用により、相関関係の崩壊を分析する。
• バナッハ空間Bにおける転送作用素に対してラスオータ＝ヨルケ型不等式を適用し、スペクトル制御を保証する。
• 尾部挙動を制御するため、∑_{k=n+1}^∞ ||R_k|| ≤ C n^{-β}（β > 1）を満たす再生条件を課す。
• 帰還時間関数τのアペリオディシティを要請し、不変測度の弱混合性とエルゴード性を保証する。
• バナッハ空間Bを定義するために準ホルダーおよび有界変動関数空間を用い、観測量が中立的固定点から離れた部分に支持を持つことを要請する。
• スケイプ積剛性と前像の幾何的制御を用いて、1次元のアペリオディシティ結果（[ADSZ]および[AD]より）を高次元に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様に拡大する写像が、どのような条件下で相関関係の崩壊に対して多項式的下界を示すか？
• RQ2 写像が中立的固定点を持ち、有界歪度やマルコフ構造が欠落している場合、崩壊率はどのように定量的に評価できるか？
• RQ3 最初の帰還時間のアペリオディシティが、弱混合性と多項式的崩壊を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 中立的固定点の近くでの局所的拡大挙動、例えばT(x) ≈ x + x^{1+γ}と関連づけて、崩壊率を関連付けることができるか？
• RQ5 写像の幾何的および解析的条件は、再生理論のアプローチに適応するための||R_k||のノルムの十分な速い崩壊を保証するか？

主な発見

• 中立的固定点の近くで局所的にT(x) ≈ x + x^{1+γ}と振る舞う写像に対して、相関関係の崩壊はn^{β−1}で下から抑えられ、β = 1/γである。
• 与えられた仮定のもとで、崩壊率n^{β−1}は最適であり、再生理論フレームワークにおける誤差項は、尾部和∑_{k=n+1}^∞ μ(τ > k) よりも速く崩壊する。
• 帰還時間関数τのアペリオディシティは、不変測度μの弱混合性と同値であり、多項式的崩壊に不可欠である。
• 帰還時間kのレベル集合に対する転送作用素ノルム||R_k||は、少なくともn^{-β}の速度で崩壊する。これは、崩壊推定の再生条件を保証する。
• 高次元では、固定点の近傍のすべての前像が不連続性を避ける限り、崩壊率は維持される。これはマルコフ分割が存在しない場合でも成立する。
• 有界変動または準ホルダー空間に属する観測量に対して、中立的固定点から十分に離れた支持を持つ限り、結果は適用可能である。