[論文レビュー] LP approximations to mixed-integer polynomial optimization problems

Daniel Bienstock, Gonzalo Muñoz|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 19被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、制約の共通部分グラフの木幅が有界であることを活用して構造的スパarsityを特定し、混合整数多項式最適化問題のための新規な線形計画法（LP）近似枠組みを提示する。任意の許容誤差 ϵ > 0 に対して、O((2π/ϵ)^{ω+1} n log(π/ϵ)) 個の変数および制約を有する多項式サイズのLP定式化が存在し、実行可能性と最適性の許容誤差が ϵ に比例することを証明している。この結果を応用して、木幅が有界なグラフにおけるAC-OPF問題の多項式時間近似スキーム（PTAS）を構築する。

ABSTRACT

We present a class of linear programming approximations for constrained optimization problems. In the case of mixed-integer polynomial optimization problems, if the intersection graph of the constraints has bounded tree-width our construction yields a class of linear size formulations that attain any desired tolerance. As a result, we obtain an approximation scheme for the "AC-OPF" problem on graphs with bounded tree-width. We also describe a more general construction for pure binary optimization problems where individual constraints are available through a membership oracle; if the intersection graph for the constraints has bounded tree-width our construction is of linear size and exact. This improves on a number of results in the literature, both from the perspective of formulation size and generality.

研究の動機と目的

• 証明可能な誤差境界を有する、混合整数多項式最適化問題のコンパクトで多項式サイズのLP定式化を開発すること。
• 制約行列の構造的スパarsityを、共通部分グラフの木幅を通じて活用すること。
• 木幅が有界なグラフにおけるAC-OPF問題の多項式時間近似スキーム（PTAS）を提供すること。
• 木分解と制約の一貫性を用いて、既存のラップアップ定式化技術を多項式的および混合整数的設定に一般化すること。
• 近似品質の理論的限界を確立し、定式化サイズにおける ϵ 依存性が、P=NP でない限り最適であることを示すこと。

提案手法

• 制約の共通部分グラフの木分解を構築し、各ノードが変数の部分集合（クリークサイズ ≤ ω+1）に対応するようにする。
• 各木分解ノード t に対して、袋 Q_t 内の変数にのみ関係するすべての制約を満たす変数割り当てを表す、実行可能構成（F_t）を定義する。
• 各実行可能構成 v ∈ F_t に対して補助変数 λ^t_v を導入し、各部分集合 S ⊆ Q_t に対して Z_S を導入し、木のノード間の一貫性を保証する。
• 制約 (27b) および (27c) を用いて、Z_S が実行可能解の特性ベクトルの凸結合を表すようにし、ラップアップLP緩和を形成する。
• 解の多面体の整数性を保証するために、Lovász-Schrijver のラップアップ技術を木分解の袋に制限して適用する。
• 木幅が有界であることを利用して、各袋あたりの構成数を O(2^ω) で抑え、全体の定式化サイズを O(|V(T)|2^ω) = O(n 2^ω) に抑える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制約の共通部分グラフの木幅が有界である場合に、証明可能な誤差境界を有する多項式サイズのLP定式化を構築できるか？
• RQ2 木幅が有界なグラフにおけるAC-OPF問題に対して、LP緩和を用いて多項式時間近似スキーム（PTAS）を達成できるか？
• RQ3 共通部分グラフの木幅が、多項式的混合整数計画問題のLP近似のサイズと精度にどのように影響するか？
• RQ4 Lovász-Schrijver のラップアップ技術を、構造的スパarsityを持つ多項式的および混合整数的問題に適応可能か？
• RQ5 定式化サイズにおける許容誤差 ϵ 依存性の最適な依存関係は何か？また、計算複雑性の仮定のもとでこれがタイトであるか？

主な発見

• 任意の ϵ > 0 に対して、O((2π/ϵ)^{ω+1} n log(π/ϵ)) 個の変数および制約を有するLP定式化が構築され、混合整数多項式問題が実行可能性許容誤差 Fϵ および最適性許容誤差 ||c||₁ϵ で近似可能である。
• 定式化サイズは O(ϵ^{-ω-1} log ϵ^{-1}) に比例し、P=NP でない限りこれが最適であることが証明されている。
• 本手法により、木幅が有界なグラフにおけるAC-OPF問題の多項式時間近似スキーム（PTAS）が得られる。
• LP定式化の解の多面体は整数的であり、元の問題の木幅が有界である場合、実行可能解の凸包を正確に表現する。
• 本手法は、制約のメンバーーシップオラクルを備えた純粋2値問題にも一般化可能であり、共通部分グラフの木幅が有界な場合には正確で線形サイズの定式化が得られる。
• すべての実行可能解を明示的に列挙する必要なく、木分解ノード間での動的計画法的整合性を活用して、証明可能な近似境界を達成する。