[論文レビュー] Lyapunov exponents and eigenvalues of products of random matrices

Nanda Kishore Reddy|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有界密度と有限モーメントを持つ i.i.d. 実数成分をもつ i.i.d. ランダム行列に対して、その積の固有値の絶対値が、特異値と同じ成長率を漸近的に示し、フラクチュエーションが n の任意の多項式より速く減少することを確立する。主な結果は、すべての r > 0 および 1 ≤ p ≤ d に対して、lim_{n→∞} (1/n^r) log(|λ_p(n)| / σ_p(n)) = 0 a.s. であり、これは、弱いモーメントおよびサポート条件のもとで、長期間にわたり固有値と特異値のリャプノフ指数が一致することを示している。

ABSTRACT

Let $X_1,X_2, \ldots $ be a sequence of $i.i.d$ real (complex) $d imes d $ invertible random matrices with common distribution $μ$ and $σ_1(n), σ_2(n), \ldots , σ_d(n)$ be the singular values, $λ_1(n), λ_2(n), \ldots , λ_d(n)$ be the eigenvalues of $X_nX_{n-1}\cdots X_1$ in the decreasing order of their absolute values for every $n$. It is known that if $\mathbb{E}(\log^{+}\|X_1\|)< \infty$, then with probability one for all $1 \leq p \leq d$, $$ \lim_{n o \infty} \frac{1}{n}\log σ_p(n)=γ_p, $$ where ${γ_1,γ_2 \ldots γ_d}$ are the Lyapunov exponents associated with $μ$. In this paper we show that under certain support and moment conditions on $μ$, the absolute values of eigenvalues also exhibit the same asymptotic behaviour. In fact, a stronger asymptotic relation holds between the singular values and the eigenvalues $i.e.$ for any $r>0$ with probability one for all $1 \leq p \leq d$, $$ \lim_{n o \infty} \frac{1}{n^r}\log \left(\frac{|λ_p(n)|}{σ_p(n)} ight)= 0, $$ which implies that the fluctuations of the eigenvalues have the same asymptotic distribution as that of the corresponding singular values. Isotropic random matrices and also random matrices with $i.i.d$ real elements, which have some finite moment and bounded density whose support contains an open set, are shown to satisfy the moment and support conditions under which the above relations hold.

研究の動機と目的

• i.i.d. ランダム行列積における固有値と特異値の成長率の漸近的同等性を確立すること。
• 固有値のリャプノフ指数が特異値の指数と一致する最小限のモーメントおよびサポート条件を同定すること。
• ギニベルや等方的行列に対する以前の結果を、有界密度と有限モーメントを持つ i.i.d. 行列集合の広いクラスへと拡張すること。
• 外積代数とスペクトル理論を用いて、実および複素ランダム行列に一般化可能な一般的な証明フレームワークを提供すること。

提案手法

• 特異値の漸近的成長を特徴付けるために、行列の外積によるリャプノフ指数理論を用いる。
• Feketeの亜加法的補題および [3] からのランダム行列理論の結果を適用して、正規化された対数ノルムのほとんど確実収束を確立する。
• 積行列の特異ベクトルの集中性に関するキーレンマを用いて、固有値と特異値を関連付ける。
• 可逆行列で構成され、開区間の成分をもつ行列の集合を用いて、関連するランダム行列積の p-強い非可約性および p-収縮性を保証するサポート条件を構築する。
• ℓ(Y₁) = max(log⁺‖Y₁‖, log⁺‖Y₁⁻¹‖) のモーメント生成関数のバウンドを用いて、定理22の適用に必要な指数モーメント条件を検証する。
• 摂動論法を用いて、行列式が1で特定の可逆行列 M₀ に近い行列の集合が測度 μ のサポートに含まれることを示し、必要な非可約性および収縮性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界モーメントおよびサポート条件のもとで、i.i.d. ランダム行列積の固有値の絶対値は、特異値と同じ速度で成長するか？
• RQ2 ギニベルや等方的行列のような特殊ケースを超えて、有界密度と有限モーメントを持つ i.i.d. 行列集合に対して、固有値と特異値のリャプノフ指数の漸近的同等性を証明できるか？
• RQ3 行列分布のモーメントおよびサポート条件として、n → ∞ のとき、|λ_p(n)| / σ_p(n) の対数フラクチュエーションが多項式より小さい条件は何か？
• RQ4 これらの条件下で、lim_{n→∞} (1/n^r) log(|λ_p(n)| / σ_p(n)) = 0 がすべての r > 0 に対してほとんど確実に成り立つか？
• RQ5 同じ理論的枠組みを用いて、実行列から複素行列へと結果を拡張できるか？

主な発見

• 有界密度と有限モーメントを持つ i.i.d. 実数 d×d ランダム行列に対して、固有値 |λ_p(n)| と特異値 σ_p(n) は、すべての r > 0 および 1 ≤ p ≤ d に対して、lim_{n→∞} (1/n^r) log(|λ_p(n)| / σ_p(n)) = 0 almost surely を満たす。
• これは、相対誤差が n の任意の多項式より速く減少するため、固有値のリャプノフ指数 γ_p が特異値のリャプノフ指数 γ_p と一致することを示唆する。
• 行列成分の分布が有界密度と正の τ における有限モーメントを持つ場合に、sup_a E|ξ - a|^{-τ} < ∞ が τ < 1 のとき成り立つ。
• 行列分布のサポートには可逆行列の開集合が含まれており、これにより関連するランダム積の p-強い非可約性および p-収縮性が保証され、リャプノフ指数定理の重要な条件が満たされる。
• 成分が有限モーメントと有界密度を持つ場合、小さな τ > 0 に対して E[e^{τℓ(Y₁)}] < ∞ が成り立つため、定理22の適用が可能になる。
• このフレームワークは複素行列へと拡張可能であり、[3] からの主要な事実がそのまま持ち越され、複素の場合にも同様に主結果が成り立つ。