[論文レビュー] Lyapunov-Razumikhin techniques for state-dependent delay differential equations

A. R. Humphries, F. M. G. Magpantay|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2015

Numerical methods for differential equations参考文献 40被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、状態依存遅れ微分方程式（DDE）に対して、新しいリャプノフ＝ラズミヒン技法を開発する。元のDDEを遅れ項を外部項として扱う補助非-autonomous ODEに変換する。主な貢献は、補助関数の構成を回避するための背理法とアーベル＝アスcoliの定理を用いた新しい漸近安定性定理の証明であり、非線形状態依存DDEモデルに適用して、漸近安定性と吸引域の下界を確立する。

ABSTRACT

We present Lyapunov stability and asymptotic stability theorems for steady state solutions of general state-dependent delay differential equations (DDEs) using Lyapunov-Razumikhin methods. Our results apply to DDEs with multiple discrete state-dependent delays, which may be nonautonomous for the Lyapunov stability result, but autonomous (or periodically forced) for the asymptotic stability result. Our main technique is to replace the DDE by a nonautonomous ordinary differential equation (ODE) where the delayed terms become source terms in the ODE. The asymptotic stability result and its proof are entirely new, and based on a contradiction argument together with the Arzela-Ascoli theorem. This approach alleviates the need to construct auxiliary functions to ensure the asymptotic contraction, which is a feature of all other Lyapunov-Razumikhin asymptotic stability results of which we are aware. We apply our results to a state-dependent model equation which includes Hayes equation as a special case, to directly establish asymptotic stability in parts of the stability domain along with lower bounds on the size of the basin of attraction.

研究の動機と目的

• 状態依存遅れ微分方程式（DDE）の直接的な安定性解析手法の不足に取り組む。DDEは制御理論や集団動態学などの応用分野で一般的である。
• 既存のリャプノフ＝ラズミヒン手法が補助関数の構成を要するか、非-autonomousまたは状態依存の場合に失敗するという限界を克服する。
• 複数の離散的状態依存遅れを有する非-autonomousまたは周期的駆動のDDEに対して、新しい漸近安定性定理を確立する。
• 非線形状態依存DDEモデルの自明解の吸引域に対する明示的な下界を提供する。
• 線形化に基づく手法がまだ厳密に確立されていない、特に非-autonomousな場合の問題への適用可能性を示す。

提案手法

• 遅れ項を外部項として扱うことで、元の状態依存DDEを補助非-autonomous ODEに変換する。
• 背理法とアーベル＝アスcoliの定理を組み合わせて漸近安定性を証明し、補助関数の構成を回避する。
• リャプノフ＝ラズミヒン枠組みを用い、リャプノフ関数の微分が、解が定常状態の周囲の球の境界に近づくときのみ制約を受けるように設定する。
• 局所リプシッツ連続性および定常状態近傍での有界遅れ仮定のもとで、リャプノフ安定性の十分条件を確立する。
• 線形的状態依存遅れを有するモデルDDE ẋ(t) = μx(t) + σx(t − a − c x(t)) にフレームワークを適用する。
• 条件 P(δ₁, c, k) = δ₁ を用いて漸近安定性のパラメータ領域を導出し、式 (6.1) を用いて δ₂ を計算し、吸引域を有界化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 補助関数の構成を要しない状態依存DDEに向けたリャプノフ＝ラズミヒン技法を拡張可能か？
• RQ2 補助関数を回避する背理法に基づく漸近安定性証明が、非-autonomous状態依存DDEに対して可能か？
• RQ3 状態依存DDE ẋ(t) = μx(t) + σx(t − a − c x(t)) の自明解が漸近的に安定であるような明示的なパラメータ領域は何か？
• RQ4 このような非線形DDEに対して、吸引域の下界を厳密に導出可能か？
• RQ5 リャプノフ＝ラズミヒン手法で得られる安定性領域と線形化手法によるものとの比較はいかがなものか？

主な発見

• 非-autonomousまたは周期的駆動の状態依存DDEに対して、背理法とアーベル＝アスcoliの定理を用いて、複数の離散的遅れを有する新しい漸近安定性定理が確立された。
• 従来のリャプノフ＝ラズミヒン手法における補助関数の構成という主要な制限を回避できる。
• モデルDDE ẋ(t) = μx(t) + σx(t − a − c x(t)) に対して、(μ, σ) ∈ {P(1, 0, k) < 1} が成り立つ場合、零解は漸近的に安定である。ここで k = 1, 2, または 3 である。
• 式 (6.1) を用いて計算された δ₂ を用いて、吸引域の下界が導出され、吸引域の領域に対する定量的推定が得られた。
• 導出された安定性領域は k の増加に伴い拡大するが、k → ∞ のときにも完全な既知の安定性領域 Σ⋆ には収束せず、本手法の限界を示している。
• カスプ領域 Σc（μ > 0）では、解が原点に収束しない反例が構成され、吸引域半径の上界 δ∗ が得られた。この上界は、下界 δ₂ と比較された。