[論文レビュー] M\\'ethode de Mahler, transcendance et relations lin\\'eaires : aspects effectifs

Boris Adamczewski, Colin Faverjon|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2016

Meromorphic and Entire Functions参考文献 3被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、q-マーラー関数の代数的点における値の代数的・超越的性質を決定する効果的なアルゴリズム、およびそのような値の間の線形関係を計算するアルゴリズムを提示する。フィリッポンの超越性基準に基づき、著者たちはf(α)がk(α)内で代数的であるか、それとも超越的であるかを決定する計算的手法を考案し、複数のq-マーラー関数値がαにおいて線形従属となる関係のQ̄上での基底を明示的に計算する。

ABSTRACT

This note deals with some effective results in Mahler's method. In a recent work, we used a theorem of Philippon to show that given a Mahler function $f(z)$ in ${\\bf k}\\{z\\}$, where ${\\bf k}$ denotes a number field, and an algebraic number $\\alpha$ in the domain of holomorphy of $f$, the number $f(\\alpha)$ is either transcendental or belongs to ${\\bf k}(\\alpha)$. We describe here an effective procedure to decide if such a number is transcendental or not. More generally, given several Mahler functions $f_1(z),\\cdots,f_r(z)$ and an algebraic number $\\alpha$ in the domain of holomorphy of these functions, we show how to effectively determine a basis of the vector space of $\\overline{\\mathbb Q}$-linear relations between $f_1(\\alpha),\\cdots,f_r(\\alpha)$.

研究の動機と目的

• q-マーラー関数f(z)と代数的点αに対して、f(α)が代数的か超越的かを決定するアルゴリズム的手法を開発すること。
• 複数のq-マーラー関数f₁(z), ..., fr(z)が共通の代数的点αにおいてとる値f₁(α), ..., fr(α)の間のQ̄上での線形従属関係の空間の基底を明示的に計算すること。
• 与えられたq-マーラー関数が満たす最小の非同次マーラー方程式を計算するための効果的アルゴリズムを提供すること。
• 数体kを係数に持つq-マーラー関数を扱うための構成的枠組みを確立し、超越性および線形関係のアルゴリズム的決定可能性を保証すること。

提案手法

• フィリッポンの超越性基準の使用により、決定問題をk(α)内での代数的性質の確認に還元する。
• マーラー方程式 (1) から導かれる再帰関係のアルゴリズム的解法により、f(z)のテイラー係数を有限の切り捨てまで計算する。
• 係数多項式の付値に基づいて、k上での線形方程式系を解くことにより、最小の非同次マーラー方程式を計算する。
• 線形再帰関係およびローラン級数展開の理論の応用により、マーラー方程式の解空間の次元を決定する。
• 行列A(z)の付値に依存する上限までを考慮した、q-マーラー関数系の行列再帰関係 (2) を用い、係数ベクトルf_k (kの上限まで) をアルゴリズム的に決定する。
• 係数行列の付値によって定まる臨界インデックスで再帰関係を切断することにより、有限次元の解空間を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたq-マーラー関数f(z)と|α| < 1を満たす代数的点αに対して、f(α)が代数的か超越的かをアルゴリズム的に決定できるか？
• RQ2 複数のq-マーラー関数f₁(z), ..., fr(z)に対して、Q̄-ベクトル空間における線形関係∑λᵢfᵢ(α) = 0 の基底を効果的に計算できるか？
• RQ3 与えられたq-マーラー関数が満たす最小の非同次マーラー方程式をアルゴリズム的に決定する方法は何か？
• RQ4 q-マーラー方程式の解空間における自由パラメータの数の有効な上限は何か？ そして、その上限はどのように計算できるか？

主な発見

• q-マーラー関数f(z) ∈ k{z}と0 < |α| < 1を満たす代数的点αに対して、f(α)は超越的であるか、あるいは体拡大k(α)に属するが、この2通りのいずれであるかをアルゴリズム的に決定可能である。
• マーラー系の再帰構造を用いることで、f₁(α), ..., fr(α)の間のQ̄上での線形従属関係の空間の基底を効果的に計算可能である。
• q-マーラー方程式 (1) の解空間の次元は、1 + ν₀/(q−1)以下であり、ここでν₀は先頭係数多項式p₀(z)の付値である。この上限は有効的である。
• q-マーラー関数系 (2) に対して、k > ⌊−ν/(q−1)⌋となる係数f_kは、k ≤ ⌊−ν/(q−1)⌋となる初期係数f_kによって一意に決定される。ここでνは行列A(z)の最小付値である。
• 与えられたq-マーラー関数に対して、数体k上での有限次元線形方程式系を解くことにより、最小の非同次マーラー方程式をアルゴリズム的に計算可能である。
• これらのアルゴリズムは効果的かつ構成的であり、多項式演算、付値解析、数体上での線形代数のみに依存しており、超越性および線形関係の決定可能性を保証する。