[論文レビュー] (m,n)-Semirings and a Generalized Fault Tolerance Algebra of Systems

Syed Eqbal Alam, Shrisha Rao+1 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2010

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、従来の半環を拡張する一般化された代数的構造として (m,n)-半環を導入し、複雑なシステムにおける耐障害性のモデル化と比較を行う。これらの構造に部分順序を定義することにより、部品の信頼性に基づいた耐障害性の比較を形式化し、m-aryおよびn-ary演算において、部品ごとの優位性がシステム全体の優位性をもたらすことを証明する。

ABSTRACT

We propose a new class of mathematical structures called (m,n)-semirings} (which generalize the usual semirings), and describe their basic properties. We also define partial ordering, and generalize the concepts of congruence, homomorphism, ideals, etc., for (m,n)-semirings. Following earlier work by Rao, we consider a system as made up of several components whose failures may cause it to fail, and represent the set of systems algebraically as an (m,n)-semiring. Based on the characteristics of these components we present a formalism to compare the fault tolerance behaviour of two systems using our framework of a partially ordered (m,n)-semiring.

研究の動機と目的

• 半環を (m,n)-半環へ一般化し、複数の部品を有するシステムに向けた代数的ツールを拡張すること。
• 部品の信頼性に基づいて、(m,n)-半環を用いた代数的構造として耐障害性行動を形式化すること。
• 部品の信頼性に基づいたシステム耐障害性の比較を可能にする (m,n)-半環上での部分順序を定義すること。
• Raoの以前の半環に基づく耐障害性解析の研究を、一般化された演算を用いてより広範なシステムクラスへ拡張すること。
• 合成システムにおいて、部品ごとの耐障害性優位性がシステム全体の優位性をもたらす条件を確立すること。

提案手法

• 標準的な半環を一般化するため、m-ary演算 f と n-ary演算 g を持つ代数的構造として (m,n)-半環を定義する。
• 重要な代数的性質を導入する：単位元、吸収元、冪等元、準同型、合同関係。
• (m,n)-半環上に部分順序 ≼ を定義し、システム間の耐障害性優位性を表現する。
• m-aryおよびn-ary演算における分配法則および結合則を用いて、部品レベルの優位性からシステムレベルの優位性を導出する。
• もし一つのシステムの部品が他方のシステムの部品よりも耐障害性に優れているならば、システム全体の演算がこの優位性を保つことを証明する。
• 部分順序制約下でネストされた演算（例：f(g(...)) および g(f(...))) を分析することにより、複雑なシステムへの適用を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半環に基づく耐障害性モデリングは、m-aryおよびn-aryの部品相互作用を有するシステムへどのように一般化できるか？
• RQ2 (m,n)-半環が意味のある耐障害性比較を可能にするために満たすべき代数的性質は何か？
• RQ3 合成システムにおいて、部品ごとの耐障害性優位性がシステム全体の優位性をもたらす条件は何か？
• RQ4 部分順序を (m,n)-半環に導入することで、複雑なシステムの信頼性をどのように比較できるか？
• RQ5 m-aryおよびn-ary演算における分配法則および結合則が、耐障害性解析に与える影響は何か？

主な発見

• (m,n)-半環フレームワークは、従来の半環を一般化し、m-aryおよびn-ary演算を用いたシステム耐障害性の代数的モデリングを可能にする。
• (m,n)-半環上に定義された部分順序 ≼ は、部品ごとの耐障害性優位性がシステム全体の優位性をもたらすことを保証する。
• すべての i に対して x_i ≼ y_i が成り立つならば、f(x_1^m) ≼ f(y_1^m) が成り立つ。これは、m-ary演算が耐障害性順序を保つことを証明する。
• 同様に、すべての j に対して z_j ≼ u_j が成り立つならば、g(z_1^n) ≼ g(u_1^n) が成り立つ。これは、n-ary演算が順序を保つことを示す。
• フレームワークはネストされた演算をサポートする。例えば、a_i ≼ b_i のとき、f(x_1^{k-1}, f(a_1^m), x_{k+1}^m) ≼ f(y_1^{k-1}, f(b_1^m), y_{k+1}^m) が成り立つ。
• 演算を複数回適用しても、結果は成り立つ。例えば、f^(m)(g(z_1^n)) ≼ f^(m)(g(u_1^n)) は、部品の優位性のもとで成立する。