[論文レビュー] M-tensors and The Positive Definiteness of a Multivariate Form

Liping Zhang, Liqun Qi+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2012

Tensor decomposition and applications参考文献 28被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、M行列の高次元一般化としてMテンソルを導入し、Mテンソルの最小固有値が正で、非負固有ベクトルを有することを証明する。本稿では、その最小固有値を計算する収束性が保証された反復的アルゴリズムを提案し、偶数次元の多変数形式の正定値性をテストすることは、関連するテンソルがMテンソルであることを確認することに等しいことを確立し、非線形システムにおける安定性解析の計算的に実行可能な手法を提供する。

ABSTRACT

We study M-tensors and various properties of M-tensors are given. Specially, we show that the smallest real eigenvalue of M-tensor is positive corresponding to a nonnegative eigenvector. We propose an algorithm to find the smallest positive eigenvalue and then apply the property to study the positive definiteness of a multivariate form.

研究の動機と目的

• M行列の理論を高次元テンソルへと拡張し、Mテンソルを定義し、その性質を特徴づける。
• 非対角成分が非正であるテンソルがMテンソルであるための必要十分条件を確立する。
• Mテンソルの最小実固有値を計算する収束性が保証されたアルゴリズムを開発する。
• Mテンソルと偶数次元の多変数形式の正定値性を結びつけることで、安定性解析への応用を可能にする。
• n > 3 かつ m ≥ 4 の場合に、従来の手法に代わる計算的に効率的な正定値性テスト手法を提供する。

提案手法

• Mテンソルを非対角成分が非正で、非負テンソルと関連するスペクトル性質を有するテンソルとして定義する。
• 非負テンソルに対する一般化されたペロン＝フロベニウス定理を用いて、Mテンソルの固有値性質を導出する。
• Mテンソルの最小実固有値を計算する反復的アルゴリズムを提案し、任意のMテンソルに対してグローバル収束性が保証されることを証明する。
• 対角成分を Ad + Di...i、非対角成分を -Di...i に設定することで、Mテンソル候補を構築する。
• すべての実固有値が正であるかを確認することで、与えられたテンソルがMテンソルであるかをアルゴリズムで検証する。
• 等価性：f(x) > 0 for all x ≠ 0 iff the associated symmetric tensor is an M-tensor を用いて、Mテンソルの性質と偶数次元多変数形式の正定値性を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Mテンソルの最小実固有値は常に正であり、非負固有ベクトルに対応するか？
• RQ2 すべての実固有値が正であるという条件が、テンソルがMテンソルであるための必要十分条件となるか？
• RQ3 任意の与えられたMテンソルに対して、最小実固有値を計算する収束性が保証されたアルゴリズムは存在するか？
• RQ4 偶数次元多変数形式の正定値性をテストすることは、関連するテンソルがMテンソルであることを確認することに帰着するか？
• RQ5 提案されたアルゴリズムは、対角成分が正でない場合でも、高次元（n > 3）かつ高次元（m ≥ 4）のテンソルを効率的に処理できるか？

主な発見

• Mテンソルの最小実固有値は正であり、非負固有ベクトルに対応する。
• 非対角成分が非正であるテンソルがMテンソルであるための必要十分条件は、すべての実固有値が正であることである。
• 最小実固有値を計算するための提案アルゴリズムは、任意のMテンソルに対してグローバル収束性を有する。
• m=3 かつ n=50 の場合、平均CPU時間は15.2秒であり、中程度の次元においてスケーラブルであることが示された。
• Ad = 1000 としてランダムに生成した100個のテンソルすべてが正しくMテンソルとして同定された。これは高い正確性を示している。
• 従来の研究を一般化し、多変数形式解析において対角成分が正でなければならないという制約を撤廃した。