[論文レビュー] Mahler measures and Fuglede--Kadison determinants

Christopher Deninger|ArXiv.org|May 5, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 28被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、アーベル群 $\mathbb{Z}^d$ における群 von Neumann 代数におけるラウレンツ多項式のマーラー測度とフューグレーデ＝カジミリオン行列式の間の深い関係を確立し、特に、演算子の記号のマーラー測度に正確に対応するフューグレーデ＝カジミリオン行列式が得られることを示している。主な貢献は、$\mathrm{det}_{{\cal N}{\mathbb{Z}}^{d}}(A) = M(\hat{A})$ の同定であり、これにより解析的・力学的・代数的側面が統一され、非アーベルな設定における行列式の連続性および最小性に関する新たな問題が提示される。

ABSTRACT

The Mahler measure of a function on the real d-torus is its geometric mean over the torus. It appears in number theory, ergodic theory and other fields. The Fuglede-Kadison determinant is defined in the context of von Neumann algebra theory and can be seen as a noncommutative generalization of the Mahler measure. In the paper we discuss and compare theorems in both fields, especially approximation theorems by finite dimensional determinants. We also explain how to view Fuglede-Kadison determinants as continuous functions on the space of marked groups.

研究の動機と目的

• 群 von Neumann 代数の文脈において、マーラー測度とフューグレーデ＝カジミリオン行列式の関係を明確化すること。
• マーラー測度に関する古典的結果（例えば、有限次元行列式による近似や $M(z - P)$ の連続性）を、非可換なフューグレーデ＝カジミリオン行列式の設定に拡張すること。
• 固定された $f \in L^1(\Gamma)$ に対して、写像 $\Gamma \mapsto \mathrm{det}_{{\cal N}\Gamma}(f)$ の連続性を、マーク付き群の文脈で調査すること。
• 群 $\mathbb{Z}\Gamma$ の元 $f$ で $\mathrm{det}_{{\cal N}\Gamma}f = 1$ を満たすものの構造を調べることにより、マーラー測度 1 の多項式に関するクロネッカーの定理を一般化すること。

提案手法

• 群 von Neumann 代数 $\mathcal{N}\mathbb{Z}^d$ と $L^\infty(T^d, \mu)$ の標準的同型を用いて、$\mathrm{det}_{{\cal N}{\mathbb{Z}}^{d}}(A) = M(\hat{A})$ を通じてフューグレーデ＝カジミリオン行列式とマーラー測度を同定する。
• ツェーゲーの定理とトーペリッツ行列式の近似を適用し、マーラー測度が有限次元行列式によって近似可能であることを示し、これを可解群におけるフューグレーデ＝カジミリオン行列式へ拡張する。
• von Neumann 代数における関数計算とスペクトル論を用いて、可逆な $A$ に対して $\log|A|$ と $\mathrm{det}_{{\cal N}}A = \exp \tau(\log|A|)$ を定義する。
• ブラウン測度と次正則性を用いて、関数 $z \mapsto \log \det_{{\cal N}\Gamma}(z - f)$ を分析し、上半連続性およびスペクトル外部での連続性を証明する。
• $L^2$- torsion およびエントロピー理論の結果を応用し、$\log \det_{{\cal N}\Gamma}f$ が代数的 $\Gamma$-作用のエントロピー不変量として解釈できることを示す。
• 群 $L^1(\Gamma)^\times$ のアーベル化を考察し、$\mathrm{det}_{{\cal N}\Gamma}f$ が $f$ の交換子による像にのみ依存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの可算離散群 $\Gamma$ および $f \in \mathbb{Z}\Gamma$ に対して $\mathrm{det}_{{\cal N}\Gamma}f = 1$ が成り立つか。
• RQ2 $\mathbb{Z}\Gamma$ 内の単元でない $f \in \mathbb{Z}\Gamma \cap L^1(\Gamma)^\times$ に対して、$\mathrm{det}_{{\cal N}\Gamma}f > 1$ が成り立つか。
• RQ3 $f \in \mathbb{C}\Gamma$ に対して、関数 $z \mapsto \mathrm{det}_{{\cal N}\Gamma}(z - f)$ が $\mathbb{C}$ 上で連続か。
• RQ4 $f$ が $L^1(\Gamma)$ 内で可逆であるとき、$\mathrm{Fuglede--Kadison}$ 行列式 $\mathrm{det}_{{\cal N}\Gamma}(f)$ がマーク付き群構造に沿って連続的に変化するか。

主な発見

• 群 $\mathcal{N}\mathbb{Z}^d$ 内の演算子 $A$ のフューグレーデ＝カジミリオン行列式は、その記号のマーラー測度に等しい：$\mathrm{det}_{{\cal N}{\mathbb{Z}}^{d}}(A) = M(\hat{A})$。
• 固定された $f$ が $L^1(\Gamma)$ 内で可逆であるとき、写像 $\Gamma \mapsto \mathrm{det}_{{\cal N}\Gamma}(f)$ はマーク付き群の空間上で連続である。
• $\Gamma$ が再帰的かつ可解であるとき、$\mathbb{Z}\Gamma \cap L^1(\Gamma)^\times$ に属する左逆元を持たない $f$ に対して、$\mathrm{det}_{{\cal N}\Gamma}f > 1$ が成り立つ。
• $z \mapsto \log \det_{{\cal N}\Gamma}(z - f)$ は $\mathbb{C}$ 上で次正則であり、$f$ のスペクトル外部で連続であり、有限群および離散ヘイゼンベルク群では積分表現によって連続性が確立される。
• $\mathrm{det}_{{\cal N}\Gamma}f$ は $L^1(\Gamma)^\times$ のアーベル化における $f$ の像にのみ依存し、交換子摂動に対して不変であることを反映している。
• $f \in \mathbb{Z}\mathbb{Z}^d \cap L^1(\mathbb{Z}^d)^\times$ に対して、$f$ が $\mathbb{Z}[\mathbb{Z}^d]$ 内の単元でない限り $\mathrm{det}_{{\cal N}\mathbb{Z}^d}f > 1$ が成り立つ。これは古典的なマーラー測度の不等式 $M(P) \geq 1$ を一般化する。