[論文レビュー] Majorana chain and Ising model -- (non-invertible) translations, anomalies, and emanant symmetries

Nathan Seiberg, Shu-Heng Shao|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2023

Molecular spectroscopy and chirality被引用数 15

ひとこと要約

本論文は格子の Majorana鎖とそれらの連続極限である Ising/ Majorana CFT を分析し、格子起源の emanant 対称性、異常、および Ising/Kramers-Wannier 双対性構造へと導く非可逆的な格子並進を明らかにする。

ABSTRACT

We study the symmetries of closed Majorana chains in 1+1d, including the translation, fermion parity, spatial parity, and time-reversal symmetries. The algebra of the symmetry operators is realized projectively on the Hilbert space, signaling anomalies on the lattice, and constraining the long-distance behavior. In the special case of the free Hamiltonian (and small deformations thereof), the continuum limit is the 1+1d free Majorana CFT. Its continuum chiral fermion parity $(-1)^{F_ ext{L}}$ emanates from the lattice translation symmetry. We find a lattice precursor of its mod 8 't Hooft anomaly. Using a Jordan-Wigner transformation, we sum over the spin structures of the lattice model (a procedure known as the GSO projection), while carefully tracking the global symmetries. In the resulting bosonic model of Ising spins, the Majorana translation operator leads to a non-invertible lattice translation symmetry at the critical point. The non-invertible Kramers-Wannier duality operator of the continuum Ising CFT emanates from this non-invertible lattice translation of the transverse-field Ising model.

研究の動機と目的

• フェルミオン格子系とその連続極限における対称性と ’t Hooft 異常の研究を動機づける。
• 背景ゲージ場と異常マッチングを介して格子の Majorana鎖の解析を連続の Majorana CFT へ橋渡しする。
• 格子翻訳から生じる emanant 内部対称性を同定し、これらの異常を分類する。
• 格子のパリティ、翻訳、およびフェルミオンパリティを NSNS/RR/NSR/RNS のスピン構造と関連づける。
• スピン構造を足し合わせて Ising に類するボソン理論を得た後に現れる非可逆的な格子対称性を実証する。

提案手法

• 各格点に実数フェルミオン  を配置した有限周期格子上で Majorana鎖を定義し、格子対称性 T および G（フェルミオンパリティ）を設定する。
• 格子対称性演算子 G, T, and T_G を明示的に計算し、それらが偶数/奇数 L および欠陥を伴う場合の作用を示す。
• 局在性と整合する対称性演算子の位相再定義を仮定し、射影表示と異常を診断する。
• 格子翻訳を連続系のキラルフェルミオンパリティと関連づける式 T_lattice = (-1)^{F_L} e^{2π i P/L} を用い、現れた対称性を分析する。
• ジョルダン-ワイナー変換を実施して Majorana鎖を Isingモデルに接続し、欠陥（Kramers-Wannier/DIs）および非可逆的な格子翻訳を含めて扱う。
• 連続 Majorana CFT の NSNS/RR/NSR/RNS ヒルベルト空間とスピン構造、およびそれらの異常構造について論じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 格子起源の対称性はどのようにして Majorana鎖における ’t Hooft 異常を実現するのか？
• RQ2 格子翻訳は連続 Majorana CFT においてどのような emanant 内部対称性を誘導し、その異常分類は何か？
• RQ3 スピン構造を総和する（GSO 投影）ことは Majorana鎖を Ising モデルへどう結びつけ、非可逆的な格子翻訳をどのように生じさせるのか？
• RQ4 格子翻訳演算子と連続のキラルフェルミオンパリティは NSNS, RR, NSR, RNS の各ヒルベルト空間で正確にはどのように関連するのか？
• RQ5 これらの異常が格子-Ising 対応における非可逆対称性と双対性（Kramers-Wannier）に与える影響は何か？

主な発見

• 格子翻訳は連続極限で emanant なキラルフェルミオンパリティを生み出し、T_lattice は (-1)^{F_L} および運動量 P と関連する。
• 格子対称性代数は射影表示を実現でき、長距離理論に持続する ’t Hooft 異常を示唆する。
• スピン構造の総和（GSO 投影）により Majorana 系からボソニックな Ising モデルが得られ、Ising鎖には非可逆的な格子翻訳対称性が導入される。
• GSO 投影の後に格子上に現れる非可逆的な対称性演算子 D は Ising 翻訳と混ざり、連続の中で Kramers-Wannier 双対性を反映する。
• RR ヒルベルト空間は Z2 × Z2^f 対称性のモード 8 に対する射影的 D4 型対称性拡張とモード 8 異常構造を示す。これは既知のスピン共絡分類と一致する。
• 本分析は格子における異常と emanant 対称性が可能な IR 振る舞いを制約し、1+1d における Majorana フェルミオンのモード 8 分類と結びつくことを明確にする。