[论文解读] Majority Is Asymptotically the Most Stable Resilient Function

Elchanan Mossel|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 27被引用 6

一句话总结

本文通过证明稳定性界不仅在低影响条件下成立，也适用于傅里叶系数趋于零的函数，将 Majority Is Stablest 定理进行了扩展。研究证明，若两个布尔函数的噪声内积超过相应高斯半空间的内积，则其大傅里叶系数的系数支持必有交集，从而推广了针对单个函数的先前结果。

ABSTRACT

The result that Majority Is Stablest, proven with O'Donnell and Oleszkiewicz (2005), states that, for any two Boolean function $f,g$, of maximal influence $ au$, their noisy inner product is bounded by the noisy inner product of Gaussian half-spaces of the same measures up to an error $\varepsilon( au)$, where $\varepsilon( au) o 0$ as $ au o 0$. It is natural to ask if the condition of low influences can be relaxed to the condition that the function has vanishing Fourier coefficients. Here we answer this question affirmatively and show furthermore that if two general functions $f$ and $g$ have a noisy inner product that surpasses that of the corresponding half-spaces, then the Fourier supports of their large coefficients intersect. The case of one function, $f=g$, of our result was proven earlier in an unpublished work by O'Donnell, Servedio, Tan and Wan (2010). Their proof is included in a recent exposition by Jones (2016).

研究动机与目标

• 探究 Majority Is Stablest 定理是否可超越低影响函数，推广至傅里叶系数趋于零的函数。
• 确定两个布尔函数的噪声内积超过相应高斯半空间内积的结构条件。
• 建立大傅里叶系数支持交集与噪声内积稳定性之间的联系。

提出的方法

• 将原始 Majority Is Stablest 证明中的技术方法适配于分析傅里叶系数趋于零的函数。
• 以布尔函数与高斯半空间之间的噪声稳定性比较作为核心分析工具。
• 应用傅里叶分析方法，刻画其噪声内积超过高斯基准的函数结构。
• 采用约化论证方法，证明若噪声内积超过高斯界，则大系数的傅里叶支持必有交集。
• 利用已知的低影响函数结果，并通过对偶性与支持交集论证加以扩展。
• 建立在 O'Donnell 等人（2010 年）未发表工作的基础之上，并融入 Jones（2016）的阐述以提供基础背景。

实验结果

研究问题

• RQ1 Majority Is Stablest 定理能否推广至傅里叶系数趋于零而非仅影响较低的函数？
• RQ2 在何种条件下，两个布尔函数的噪声内积会超过相应高斯半空间的内积？
• RQ3 若两个函数的噪声内积超过高斯基准，其傅里叶支持会受到何种结构约束？
• RQ4 大傅里叶系数支持的交集与噪声内积稳定性之间有何关系？
• RQ5 当低影响假设被替换为傅里叶系数趋于零的条件时，稳定性界是否仍然成立？

主要发现

• Majority Is Stablest 稳定性界不仅适用于低影响函数，也适用于傅里叶系数趋于零的函数。
• 若两个布尔函数的噪声内积超过相应高斯半空间的内积，则其大傅里叶系数支持必有交集。
• 该结果推广了 O'Donnell、Servedio、Tan 与 Wan（2010）针对单个函数（f = g）的早期发现，现扩展至函数对的情形。
• 即使在较弱的傅里叶系数趋于零条件下，稳定性界中的误差项在影响参数趋于零时仍会消失。
• 大傅里叶系数支持的交集是超过高斯噪声内积界的一个必要条件。
• 该证明建立了傅里叶支持几何结构与噪声稳定性之间的结构性联系，拓展了 Majority Is Stablest 框架的适用范围。