[論文レビュー] Majority is Stablest : Discrete and SoS

Anindya De, Elchanan Mossel+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 39被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ガウス解析や不変性原理に依存しない、新しい離散的で帰納的証明を提示する。これは、ラッセルレ階層に対する整数性ギャップを生じさせないKhot-Vishnoi Max-Cutインスタンスを、定数次数の平方和（SoS）反証によって確立することで、近似困難性分野における重要な未解決問題を解決する。

ABSTRACT

The Majority is Stablest Theorem has numerous applications in hardness of approximation and social choice theory. We give a new proof of the Majority is Stablest Theorem by induction on the dimension of the discrete cube. Unlike the previous proof, it uses neither the "invariance principle" nor Borell's result in Gaussian space. The new proof is general enough to include all previous variants of majority is stablest such as "it ain't over until it's over" and "Majority is most predictable". Moreover, the new proof allows us to derive a proof of Majority is Stablest in a constant level of the Sum of Squares hierarchy.This implies in particular that Khot-Vishnoi instance of Max-Cut does not provide a gap instance for the Lasserre hierarchy.

研究の動機と目的

• 不変性原理やボレルのガウス結果に依存しない、離散的で帰納的証明による Majority is Stablest 定理の証明を提供すること。
• 証明を「it ain’t over until it’s over」と「Majority is most predictable」などの変種に一般化すること。
• Khot-Vishnoi Max-Cutインスタンスがラッセルレ階層に対して整数性ギャップを生じさせないことを示すこと。
• Majority is Stablest 定理に対して定数次数SoS反証を確立し、SoSの下でKhot-Vishnoi構成がギャップインスタンスとして失敗することを示すこと。

提案手法

• 離散立方体の次元に関する帰納法を用い、離散フーリエ解析と超合同的推定を用いる。
• 不変性原理やボレルの不等式を避けるために、離散立方体上の直接的な組合せ的・解析的帰納法に依存する。
• 低影響変数を有する関数に対しても一般化可能であり、「Majority is most predictable」と「it ain’t over」の変種にも拡張可能である。
• 証明を、KhotとVishnoiの独自ゲームインスタンスに対して4次SoS反証を構築することで、平方和（SoS）証明に変換する。
• 相関ρでパrameter化された独自ゲームからMax-Cutへの還元を用い、Max-CutインスタンスのSoS緩和が定数次数の反証を許容することを示す。
• βが独自ゲームの最適値であるとき、次の形のSoS反証を導出する：$ A_m \cup \{1 - \mathbb{E}[\mathrm{Stab}_\rho(g_u)] \geq K(\rho) - \delta - 2^{O(1/\delta^2)} \beta \} \vdash_{O(1/\delta^2)+4} -1 \geq 0 $。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Majority is Stablest 定理は、不変性原理やガウス解析を用いずに証明可能か？
• RQ2 Khot-Vishnoi Max-Cutインスタンスは、定数次数SoS反証を許容するか？ これは、それがラッセルレ階層の整数性ギャップインスタンスでないことを示唆する。
• RQ3 証明は「it ain’t over until it’s over」と「Majority is most predictable」などの変種に一般化可能か？
• RQ4 ガウス空間における深い結果に依存しない、離散的で帰納的証明は存在するか？
• RQ5 Max-Cutの文脈において、Khot-Vishnoiインスタンスを反証するのに必要な最小のSoS次数は何か？

主な発見

• 本稿は、不変性原理やガウス空間におけるボレルの不等式に依存しない、離散的で帰納的証明を提供する。
• 証明は「it ain’t over until it’s over」と「Majority is most predictable」などの変種にも一般化可能であり、より広範な適用可能性を示す。
• Khot-Vishnoi Max-Cutインスタンスは、ラッセルレ階層に対して整数性ギャップを生じさせない。定数次数SoS反証が存在するためである。
• 独自ゲームインスタンスに対して次数4のSoS反証が構築され、最適値β = N^{-Ω(η)}であるため、定数次数で反証可能であることが示された。
• SoS反証は独自ゲームからMax-Cutへの還元を経て導出され、任意のδ > 0に対して、次の不等式が成り立つ：$ A_m \cup \{1 - \mathbb{E}[\mathrm{Stab}_\rho(g_u)] \geq K(\rho) - \delta - 2^{O(1/\delta^2)} \beta \} \vdash_{O(1/\delta^2)+4} -1 \geq 0 $。
• この結果は、Khot-Vishnoi構成を用いてMax-Cutにおけるラッセルレ階層の非定数整数性ギャップを示すことはできないことを示唆する。