[論文レビュー] Many-particle quantum hydrodynamics: Basic principles and fundamental applications

Pavel A. Andreev, L. S. Kuz|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2014

Ionosphere and magnetosphere dynamics参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、明示的なクーロン相互作用を伴う多体系シュレーディンガー方程式から、連続の式、オイラー方程式、エネルギーバランス方程式を厳密に導出する多粒子量子流体力学（MPQHD）の導出を提示している。直交座標、円柱座標、球座標における量子流体力学方程式を導出し、量子ボームポテンシャルおよび慣性力も含む。さらに、degenerateな量子プラズマにおける集団励起状態に応用し、交換相互作用および外部磁場の効果を含めた1次元、2次元、3次元系におけるラングミュア波の解析的スペクトルを導出する。

ABSTRACT

We present a detailed derivation of the continuity, Euler, and energy balance equations from many particle Schrodinger equation. Interparticle interaction is explicitly considered as the Coulomb interaction. We show the QHD equations in a form suitable for low dimensional systems. The QHD equations in the cylindrical and spherical coordinates are presented as well. We present a method of non-linear Schrodinger equation derivation from the QHD equations. We describe a method of exchange interaction calculation for two- and three-dimensional quantum plasmas. We discuss explicit form and area of applicability of equations of state for 1D, 2D, and 3D degenerate electrons. We explicitly consider equations of state for degenerate electron gas in an external magnetic field. Considering QHD equations in cylindrical coordinates we focus our attention on the quantum part of the inertia forces and contribution of the quantum Bohm potential to the spectrum of quantum cylindrical waves. Collective excitations of 2DEG on spherical surface are considered. Equation of state for degenerate 2DEG on a spherical surface is obtained. We apply the QHD equations to small amplitude collective excitations in linear regime of QHD equations. We consider the Langmuir waves in 1D, 2D, and 3D quantum plasmas including the exchange Coulomb interaction. Considering quantum plasmas located in an external magnetic field we focus our attention on longitudinal waves propagating perpendicular to the external magnetic field. We present this consideration for 1D, 2D, and 3D plasmas. We discuss dependence of the exchange interaction on rate of polarization of spins in the external magnetic field. We include dependence of the pressure of degenerate electrons on the strength of the external magnetic field via the change of occupation of quantum states at application of an external magnetic field.

研究の動機と目的

• 多体系シュレーディンガー方程式から、運動論理論に依存しない、多粒子量子流体力学（MPQHD）の厳密な枠組みを確立すること。
• クーロン相互作用を明示的に含み、ボームポテンシャルなどの量子補正を含む量子プラズマの連続の式、オイラー方程式、エネルギーバランス方程式を導出すること。
• MPQHDを円柱座標および球座標を含む曲がった幾何構造に拡張し、これらの系における量子慣性力およびボームポテンシャルの寄与を解析すること。
• MPQHDを用いて、外部磁場および交換相互作用を含むdegenerateな電子系における集団励起スペクトル（特にラングミュア波）を計算すること。
• 1次元、2次元、3次元のdegenerate電子系における状態方程式を導出し、Landau準位の占有状態を介した磁場依存性を含めること。

提案手法

• 粒子位置のデルタ関数の平均として定義される粒子密度を用いて、多体系シュレーディンガー方程式の量子力学的平均を取ることでMPQHD方程式を導出する。
• 連続の式およびオイラー方程式の導出において、クーロン相互作用を明示的に取り入れ、スレーター行列式を用いて交換相互作用項を組み込む。
• 円柱座標および球座標における量子流体力学方程式を導出し、量子慣性力およびボームポテンシャル項を完全に取り扱う。
• 線形化されたMPQHD方程式を用いて、交換相互作用および磁場効果を含む1次元、2次元、3次元の量子プラズマにおけるラングミュア波の分散関係を計算する。
• 弱い非線形励起の極限として、MPQHD方程式から非線形シュレーディンガー方程式（NLSE）を導出する。
• 量子分布関数作用素を用いてMPQHDと量子運動論を結びつけ、量子流体力学と運動論の統一的基盤を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多体系シュレーディンガー方程式を、ボームポテンシャルや交換相互作用などの量子補正を含む流体力学的方程式に体系的に還元する方法は何か？
• RQ2 円柱座標および球座標における量子流体力学方程式の正確な形は何か？また、量子慣性力およびボームポテンシャルは、これらの幾何構造における波の分散にどのように寄与するか？
• RQ3 2次元および3次元の量子プラズマにおいて、交換相互作用およびフェルミ圧のラングミュア波スペクトルへの寄与は何か？特に外部磁場が存在する場合にどうなるか？
• RQ4 1次元、2次元、3次元のdegenerate電子系における状態方程式は、Landau準位の量子化に起因する外部磁場の強さにどのように依存するか？
• RQ5 MPQHDフレームワークを用いて非線形シュレーディンガー方程式を導出し、線形領域を超える量子プラズマの集団励起状態を記述できるか？

主な発見

• 球座標におけるMPQHD方程式は、2次元電子ガス（2DEG）球面上のラングミュア波スペクトルを $\omega^2 = \frac{l(l+1)}{2l+1}\omega_{Le,Sp}^2 + l(l+1)\frac{3\pi\hbar^2 n_{0,2D}^2}{4m^2} + \frac{\hbar^2}{4m^2 R^4} l(l+1)(3 + l(l+1)) + \widetilde{\Omega}^2$ として与える。ここで $\widetilde{\Omega}^2$ は、量子慣性力およびボームポテンシャルのθ成分からの寄与を含む。
• 分散関係の主要項に $k_{\text{eff}} = l/R$ が現れ、平面状の2DEG系と類似した形を取る。これは、$l$ が十分に大きい極限で既知の2次元結果と整合的であることを確認する。
• 2次元および3次元の量子プラズマにおける交換相互作用は明示的に導出され、外部磁場下でのスピン偏極度に依存することが示され、集団励起スペクトルに修正を加える。
• 球面上の2次元degenerate電子ガスの状態方程式は $p = \frac{3n}{8\pi} \left( \frac{4\pi^2 \hbar^2}{3m} \right) n$ として得られ、平坦な極限では標準的な2次元形に還元される。
• 量子ボームポテンシャルおよび量子慣性力は、円柱波の分散に顕著な影響を及ぼし、$\widetilde{\Omega}^2$ 項は角運動量量子数および $Z_{m,m+1}^l$ に複雑な依存性を示す。
• 本手法により、MPQHDから非線形シュレーディンガー方程式が成功裏に導出され、弱い非線形領域における既知の非線形量子流体力学と整合的であることが示された。