[論文レビュー] Many-valued complete distributivity

Hongliang Lai, Dexue Zhang|ArXiv.org|Mar 25, 2006

Advanced Algebra and Logic参考文献 31被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、可換単位的量代数 Ω に値をとる圏における多値完全分配的性質を、圏論的随伴を用いて古典的完全分配的性質の一般化として調査する。Ω が可換ギラール量代数であるとき、完全分配的 Ω-ラティス間の右随伴関手の圏が自身完全分配的であることを示し、任意の集合に対して自由な完全分配的 Ω-ラティスが存在することを示しており、多値順序理論の圏論的基盤を提供する。

ABSTRACT

Categories enriched over a commutative unital quantale can be studied as generalized, or many-valued, ordered structures. Because many concepts, such as complete distributivity, in lattice theory can be characterized by existence of certain adjunctions, they can be reformulated in the many-valued setting in terms of categorical postulations. So, it is possible, by aid of categorical machineries, to establish theories of many-valued complete lattices, many-valued completely distributive lattices, and so on. This paper presents a systematical investigation of many-valued complete distributivity, including the topics: (1) subalgebras and quotient algebras of many-valued completely distributive lattices; (2) categories of (left adjoint) functors; and (3) the relationship between many-valued complete distributivity and properties of the quantale of truth values. The results show that enriched category theory is a very useful tool in the study of many-valued versions of order-related mathematical entities.

研究の動機と目的

• 圏論を用いて、古典的ラティスの完全分配的性質を、量代数に値をとる多値構造へと拡張すること。
• 圏論的随伴および豊密化圏の道具立てを用いて、多値完全分配的性質を特徴付けること。
• 多値完全分配的ラティスの文脈における部分代数、商代数、関手圏を調査すること。
• 完全分配的性質が成り立つために必要な量代数 Ω の論理的・代数的条件を明確化すること。

提案手法

• 豊密化圏論を用いて、完全分配的性質といった古典的順序論的概念を、Ω-圏における随伴関手の存在を用いて再定式化する。
• ヤヌイダ埋め込みおよびその随伴を用いて、完全分配的性質を圏論的普遍性の観点から特徴付ける。
• 関手圏の双対を用いて自由な完全分配的 Ω-ラティスを構成する：F(X) = [[Ω^X], Ω]^op。
• 関手圏 [Ω, Ω] におけるテンソルおよびコテンソル演算を用いて、含意と否定に関する恒等式を導出し、ギラール量代数の特徴付けに至る。
• Ω が可換ギラール量代数であるとき、2つの完全分配的 Ω-ラティス間の右随伴関手の圏が自身完全分配的であることを確立する。
• 随伴関手定理および終着圏の完全性を用いて、自由構成への一意的因数分解の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量代数 Ω がどのような条件下で、完全分配的 Ω-ラティス間の右随伴関手の圏が自身完全分配的になるか？
• RQ2 どのような条件で、集合によって生成される自由な完全分配的 Ω-ラティスが存在するか？
• RQ3 豊密化圏論を用いて、順序理論における古典的完全分配的性質を多値的設定に一般化できるか？
• RQ4 多値完全分配的性質の文脈において、量代数 Ω が可換ギラール量代数であるという性質がどのような論理的意義を持つのか？
• RQ5 Ω のどの代数的性質が、ギラール量代数を特徴付ける恒等式 α = (α → 0) → 0 と同値になるか？

主な発見

• Ω が可換ギラール量代数であるとき、2つの完全分配的 Ω-ラティス間の右随伴関手の圏は、自身完全分配的 Ω-ラティスである。
• 任意の集合 X に対して、Ω が可換ギラール量代数であるとき、自由な完全分配的 Ω-ラティス F(X) = [[Ω^X], Ω]^op が存在する。
• F(X) の構成により、任意の関数 X → 完全分配的 Ω-ラティスが、F(X) から完全ラティス準同型へ一意に拡張可能であることが保証される。
• Ω において恒等式 α = (α → 0) → 0 が成り立つのは、Ω が可換ギラール量代数であるときであり、かつそのときに限る。これは、理論に必要な量代数構造を特徴付ける。
• 任意の完全分配的 Ω-ラティス A に対して、関手圏 [A^op, Ω]^op の双対は完全分配的である。これは双対性のもとで構造が保存されることを示す。
• 自由構成 F(X) を用いて、Ω-ラティスの圏から Set への忘却関手に左随伴が存在することを示し、自由対象の存在を裏付ける。