[論文レビュー] Mapping NP-hard and NP-complete optimisation problems to Quadratic Unconstrained Binary Optimisation problems

Bas Lodewijks|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2019

Advanced Optimization Algorithms Research被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、ルーカス（2014）によって当初提案されたNP困難およびNP完全問題の誤ったQUBO定式化を是正している。特にクリーク問題などにおいて、変数インデックスと制約設計に欠陥がある。適切なパrameter制約を伴う修正済みQUBO定式化を提供し、数分割、グラフ分割、部分和問題、および数値3次元マッチングのための新しいQUBOマッピングを拡張することで、元の問題とQUBO解の間の正確な対応関係を保証している。

ABSTRACT

We discuss several mappings from well-known NP-hard problems to Quadratic Unconstrained Binary Optimisation problems which are treated incorrectly by Lucas. We provide counterexamples and correct the mappings. We also extend the body of QUBO formulations of NP-complete and NP-hard optimisation problems by discussing additional problems.

研究の動機と目的

• ルーカス（2014）が以前に発表したNP困難およびNP完全問題のQUBOマッピングに誤りがあることを特定し、特にクリーク問題の定式化において是正すること。
• 変数インデックスと制約設計の誤りを是正することで、QUBO定式化が元の最適化問題を正確に反映することを保証すること。
• 数分割、グラフ分割、部分和問題、数値3次元マッチングを含む追加問題の正しいマッピングを導出することで、既知のQUBO定式化の体系を拡張すること。
• 最適なQUBO解が元の問題の最適解に正確に対応するように保証するための厳密なパrameter制約を提供すること。
• 量子アニーリングハードウェア上で正しく埋め込み可能なQUBO定式化を可能にすることで、アディアバティック量子最適化の実用的応用を支援すること。

提案手法

• 変数 $y_i$ の範囲を $i=2$ から $\Delta$ から $i=2$ から $\Delta+1$ に修正することで、クリーク問題のQUBOを再定式化し、最大のクリークサイズが正しく表現されることを保証する。
• 制約違反に対するペナルティ項を用いて、正しいクリークサイズ符号化とエッジ接続性を強制するため、ハミルトニアン成分 $H_A$、$H_B$、$H_C$ を再設計する。
• 整数を部分集合に割り当てるためのバイナリ変数 $x_{i,j}$ を用いた数分割問題の新しいQUBO定式化を導入し、部分集合の和が不等しくなったり重複割り当てが発生した場合のペナルティ項を設ける。
• グラフを $m$ 個の部分集合に分割する場合にも同様のペナルティベースのアプローチを適用し、頂点を部分集合に割り当てるための $x_{v,j}$ を用いる。$H_A$ は複数の割り当てをペナルティ化し、$H_B$ は等しい部分集合サイズを強制し、$H_C$ は部分集合間のエッジ数を最小化する。
• 部分和問題に対して直接的なQUBOマッピングを提案し、$H = \left(\sum s_i x_i - t\right)^2$ と定式化する。最適解は、和がターゲット値 $t$ に一致する場合にのみ得られる。
• 要素を三つ組に割り当てるための変数 $x_{i,j}$、$y_{i,j}$、$z_{i,j}$ を用いた数値3次元マッチングのQUBO定式化を構築し、$H_A$ は正確なカバーを強制し、$H_B$ は各三つ組の和が $b$ に一致することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ルーカスによるクリーク問題のQUBO定式化における具体的な欠陥は何か？ それらは解の正しさにどのように影響するか？
• RQ2 最大クリークが一意かつ正しく符号化されるように、クリーク問題のQUBO定式化をどのように是正できるか？
• RQ3 ペナルティベースのQUBOフレームワークを、数分割やグラフ分割などの他のNP完全およびNP困難問題に一貫して拡張可能か？
• RQ4 最適なQUBO解が元の問題の最適解に正確に対応するように保証するための必要なパラメータ制約は何か？
• RQ5 部分和問題や数値3次元マッチングのような問題に対して、正確な解マッピングを保証するQUBO定式化をどのように構築できるか？

主な発見

• ルーカス（2014）のクリーク問題の元のQUBO定式化は、$y_i$ 変数の範囲に1オフエラーがあるため誤りである。これにより、サイズが $\Delta+1$ までのクリークが正しく扱われない。
• 変数 $y_i$ の範囲を $i=2$ から $\Delta$ から $i=2$ から $\Delta+1$ に修正することで、最大のクリークが正しく符号化され、サイズ制約が正しく強制される。
• 修正済みのクリーク問題QUBOは、$A > \Delta B$、$C < A - \Delta B$、および $A,B,C > 0$ を満たす。これによりペナルティ構造がクリークの最大性を正しく強制する。
• 部分集合の和が等しくなることと、割り当てが重複しないことをペナルティ項で保証するバイナリ変数を用いた数分割問題の正しいQUBO定式化を成功裏に導出した。
• $m$ 個の部分集合に分割するためのグラフ分割問題において、$H_A$、$H_B$、$H_C$ 成分を備えたQUBO定式化は、割り当ての排他的性、等しい部分集合サイズ、および部分集合間エッジ数の最小化を、パrameter制約 $A > B > C \cdot \min(m\Delta, N)/(m(m+2))$ の下で保証する。
• 部分和問題は $H = \left(\sum s_i x_i - t\right)^2$ を用いて正しくマッピングされ、和がターゲット値 $t$ に一致する部分集合が存在する場合にのみ0となる。これにより、元の問題の最適解との正確な対応関係が保証される。