[論文レビュー] Markovian properties of continuous group actions: algebraic actions, entropy and the homoclinic group

Sebastián Barbieri, Felipe García‐Ramos+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 87被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、コンパクトな距離空間上の連続的群作用に対して、トポロジカル・マルコフ性質（TMP）および強TMPを導入し、代数的作用、エントロピー、ホモクリニック群の結果を統一する。可換群の拡張的代数的作用が、環論的または群論的条件（例えば、ネーター的群環、または有界な有限部分群を伴う強いアティヤ予想）を満たす場合、強TMPを満たすことが証明されている。これは、位相的エントロピーが正であるための必要十分条件がホモクリニック群が非自明であることと一致し、完全正エントロピーであるための必要十分条件がホモクリニック群が稠密であることと一致することを示唆する。

ABSTRACT

We provide a unifying approach which links results on algebraic actions by Lind and Schmidt, Chung and Li, and a topological result by Meyerovitch that relates entropy to the set of asymptotic pairs. In order to do this we introduce a series of Markovian properties and, under the assumption that they are satisfied, we prove several results that relate topological entropy and asymptotic pairs (the homoclinic group in the algebraic case). As new applications of our method, we give a characterization of the homoclinic group of any finitely presented expansive algebraic action of (1) any elementary amenable group with an upper bound on the orders of finite subgroups or (2) any left orderable amenable group, using the language of independence entropy pairs.

研究の動機と目的

• 代数的作用、エントロピー、漸近的ペアに関する散在する結果を、共通のマルコフ的性質の枠組みで統一すること。
• 可換群の拡張的代数的作用が強トポロジカル・マルコフ性質（強TMP）を満たす条件を確立すること。
• ホモクリニック群を用いて位相的エントロピーおよびエントロピーの完全正性を特徴付けること。
• 有界な有限部分群または左順序可能構造を伴う一般の可換群に対して、エントロピーおよび漸近的ペアに関する既知の結果を拡張すること。

提案手法

• 符号的ダイナミクスのマルコフ性質を、コンパクトな距離空間上の群作用へ一般化したトポロジカル・マルコフ性質（TMP）および強TMPを導入すること。
• 有限部分集合上での軌道近似の均一な制御を用いてTMPを定義し、境界領域における局所的データが誤差を除いて全体の挙動を決定することを保証すること。
• 擬軌道追跡性質（POTP）を満たす作用は強TMPを満たし、強TMPはTMPを含意することを確立すること。
• 強TMPを用いて、独立性エントロピーペアと漸近的ペアの関係を、特に拡張的作用において関係づけること。
• ポントリャーギン双対をZG加群として分析し、フォン・ノイマン次元および強いアティヤ予想を活用することで、代数的作用にフレームワークを適用すること。
• 左ネーター的群環、または有界な有限部分群を伴う強いアティヤ予想を満たす条件のもとで、強TMPが成立することを証明し、エントロピーの特徴づけを可能にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換な可算群Gと代数的作用G↷Xに対して、G↷Xが強トポロジカル・マルコフ性質（強TMP）を満たす条件は何か？
• RQ2 強TMPは、拡張的代数的作用の位相的エントロピーとどのように関係するか？
• RQ3 ホモクリニック群Δ(X,G)の非自明性と位相的エントロピーの正の値との間の正確な関係は何か？
• RQ4 ホモクリニック群Δ(X,G)がXにおいて稠密であるのはいつか？ そしてこれはエントロピーの完全正性とどのように関係するか？
• RQ5 マルコフ的性質の枠組みを用いて、一般の可換群に対して独立性エントロピーペアおよび漸近的ペアを用いたエントロピーの特徴づけは可能か？

主な発見

• G↷Xが可算無限可換群Gの拡張的代数的作用であり、(1) ZGが左ネーター的、または(2) Gが強いアティヤ予想を満たし、有界な有限部分群をもち、Xの双対加群が有限生成表示を持つならば、G↷Xは強TMPを満たす。
• 強TMPのもとで、G↷Xの位相的エントロピーは、ホモクリニック群Δ(X,G)が非自明であることと同値に正である。
• 作用が完全正エントロピーをもつのは、ホモクリニック群Δ(X,G)がXにおいて稠密であることと同値である。
• 強TMPを満たす最小の拡張的作用では、位相的エントロピーは0である。これは、Z^dやソフィック群に対する既存の結果を一般化する。
• 本稿は、(1) 有界な有限部分群を伴う任意の初等的可換群、または(2) 任意の左順序可能可換群に対して、有限生成表示を持つ拡張的代数的作用のホモクリニック群を独立性エントロピーペアを用いて特徴づける。
• 強TMPにより、エントロピーと漸近的構造を一様に取り扱うことが可能となり、位相的力学とフォン・ノイマン次元、アティヤ予想などの代数的・解析的不変量を結びつける。