[論文レビュー] Martin boundary of a killed random walk on $\Z_+^d$

Irina Ignatiouk-Robert|ArXiv.org|Sep 22, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意の座標が非正になるときに停止するd次元ランダムウォークのマーティン境界を、大偏差原理と比極限定理を用いて確立する。方向$q$に発散する列がマーティンコンパクト化において基本的であるための条件は、方向$q$に誘導されるマルコフ連鎖が一意な正の調和関数を持つことである。また、1次元ランダムウォークの直積に対するコンパクト化を完全に特徴づける。

ABSTRACT

The Martin compactification is investigated for a d-dimensional random walk which is killed when at least one of it's coordinates becomes zero or negative. The limits of the Martin kernel are represented in terms of the harmonic functions of the associated induced Markov chains. It is shown that any sequence of points x_n with lim_n |x_n| = \infty and lim_n x_n/|x_n|= q is fundamental in the Martin compactification if up to the multiplication by constants, the induced Markov chain corresponding to the direction q has a unique positive harmonic function. The full Martin compactification is obtained for Cartesian products of one-dimensional random walks. The methods involve a ratio limit theorem and a large deviation principle for sample paths of scaled processes leading to the logarithmic asymptotics of the Green function.

研究の動機と目的

• 正の象限$\mathbb{Z}_+^d$から出ると停止するd次元ランダムウォークのマーティンコンパクト化を特徴づけること。
• 方向$q$に発散する列がマーティンコンパクト化において基本的であるための条件を同定すること。
• 先行研究で用いられた楕円曲線法にとどまらず、一般のジャンプをもつ高次元ランダムウォークへ大偏差法を拡張すること。
• 原点で停止する1次元ランダムウォークの直積に対するマーティンコンパクト化を完全に記述すること。
• マーティン境界の構造と境界方向における誘導マルコフ連鎖の調和関数を結びつけること。

提案手法

• 発散列に沿ったマーティン核の極限を分析するため、比極限定理を用いる。
• サンプルパスの大偏差推定を適用し、準ポテンシャルを用いてグリーン関数の対数漸近を導出する。
• 元の過程をゼロ対数グリーン関数漸近をもつねじれ過程に変換するため、指数的測度変換を用いる。
• 逆の測度変換を用いて、ねじれ過程のマーティン核極限から元の過程の極限を回復する。
• 極限方向$q$における座標の消失に対応する低次元部分空間上の誘導マルコフ連鎖に問題を還元する。
• 発散列が基本的であるための鍵となる条件として、方向$q$における誘導連鎖の正の調和関数の一意性を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の象限$\mathbb{Z}_+^d$上で停止する killed ランダムウォークのマーティンコンパクト化において、$\lim_n |x_n| = \infty$ かつ $\lim_n x_n/|x_n| = q$ を満たす列$x_n \in \mathbb{Z}_+^d$がいつ基本的であるか。
• RQ2 マーティン核の極限は、方向$q$に沿った誘導マルコフ連鎖の調和関数をどのように表現できるか。
• RQ3 原点で停止する1次元ランダムウォークの直積に対する完全なマーティンコンパクト化は何か。
• RQ4 大偏差原理と比極限定理は、非一様かつ killed のランダムウォークにおけるマーティン境界の解析をどのように支援するか。
• RQ5 誘導連鎖上で正の調和関数の一意性がマーティン境界の構造を決定づける役割を果たすか。

主な発見

• 方向$q$に沿って誘導されるマルコフ連鎖が、定数倍を除いて一意な正の調和関数を持つ場合、$\lim_n |x_n| = \infty$ かつ $\lim_n x_n/|x_n| = q$ を満たす列$x_n \in \mathbb{Z}_+^d$はマーティンコンパクト化において基本的である。
• マーティン核の極限は、$\Lambda$が$q^i = 0$となる添え字集合に対応する面$\{x^i > 0 \text{ for } i \in \Lambda\}$における誘導連鎖の調和関数を用いて表現される。
• 1次元ランダムウォークの直積に対しては、完全なマーティンコンパクト化が明示的に記述され、境界点は誘導連鎖の調和関数に対応する。
• killed ランダムウォークの最小調和関数は、$f(u) = \prod_{i \in \Lambda(M)} u^i - \mathbb{E}_u\left( \prod_{i \in \Lambda(M)} S^i(\tau_{\Lambda(M)}) \right)$ の定数倍として表される。ここで$\tau_{\Lambda(M)}$は$\mathbb{Z}_+^{\Lambda(M)}$からの抜去時刻である。
• グリーン関数の対数漸近は、スケーリング過程の大偏差推定を用い、準ポテンシャルをレート関数として導出される。
• 元のランダムウォークを$\mathbb{Z}^m$上の killed ランダムウォークのスプライシングとして表現することで、調和関数解析を関連する面における誘導連鎖に還元できる。