[論文レビュー] Mass-conserving solutions to the Smoluchowski coagulation equation with singular kernel

Prasanta Kumar Barik, Ankik Kumar Giri+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2018

Navier-Stokes equation solutions参考文献 23被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、小さな体積で代数的特異性を示し、大きな体積で線形増加を示す特異的コアグラーション核を有する連続的スモリュッチュコアグラーション方程式に対して、全時間的質量保存型弱解の存在を確立する。解析は$L^1$における弱コンパクト性法を用い、すべての弱解（保存的または非保存的近似から得られるもの）が本質的に質量保存的であることを証明し、初期データに無限大の2次モーメントを有する場合を含む、より広い条件下で先行研究を拡張する。

ABSTRACT

Global weak solutions to the continuous Smoluchowski coagulation equation (SCE) are constructed for coagulation kernels featuring an algebraic singularity for small volumes and growing linearly for large volumes, thereby extending previous results obtained in Norris (1999) and Cueto Camejo \\& Warnecke (2015). In particular, linear growth at infinity of the coagulation kernel is included and the initial condition may have an infinite second moment. Furthermore, all weak solutions (in a suitable sense) including the ones constructed herein are shown to be mass-conserving, a property which was proved in Norris (1999) under stronger assumptions. The existence proof relies on a weak compactness method in $L^1$ and a by-product of the analysis is that both conservative and non-conservative approximations to the SCE lead to weak solutions which are then mass-conserving.

研究の動機と目的

• 小さな体積で特異的であり、大きな体積で線形に増加する特異的コアグラーション核を有するスモリュッチュコアグラーション方程式に対する全時間的弱解の存在を確立すること。
• 初期データに無限大の2次モーメントを有する場合を含めても、すべての弱解が質量保存的であることを示すことで、先行研究における質量保存性に関する結果を拡張すること。
• ノーリス（1999）およびクエト・カメホ＆ヴァルネッケ（2015）の結果をより強い仮定の下で得られたものから、より広いクラスのコアグラーション核へと一般化すること。
• 特異的かつ有界でないコアグラーション核を取り扱うために、$L^1$における弱コンパクト性を用いた厳密な解析的枠組みを構築すること。

提案手法

• 近似解の収束部分列を抽出するために、$L^1$における弱コンパクト性法が用いられる。
• ゼロ付近および無限大付近での可積分性を制御するために、重み$\zeta^{-\beta}$を用いた重み付き$L^1$ノルムが使用される。
• 時間区間および空間切断の系列にわたる対角線的議論により、$\mathscr{C}_w([0,T];L^1((0,\infty);(\zeta^{-\beta}+\zeta)d\zeta))$における逐次的コンパクト性が達成される。
• 核の特異的挙動$\Psi(\zeta,\eta) \lesssim \zeta^{-\beta}\eta$（$\zeta$が小さい場合）および大きな$\eta$における線形増加を用いて、コアグラーション作用素の推定が得られる。
• 事前推定および弱極限の議論により、近似の収束が質量保存性を保つことが示される。
• 証明はダンフォード＝ペティスの定理および時間における弱逐次コンパクト性のためのアーヴェラ＝アスコリの定理の変種に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小さな体積で特異的であり、大きな体積で線形に増加する特異的核を有するスモリュッチュコアグラーション方程式に対して、全時間的弱解を構成することは可能か？
• RQ2 このような特異的かつ無限大に発散する核を有する場合でも、初期データに無限大の2次モーメントを有する場合に、すべての弱解が質量保存的であるか？
• RQ3 ノーリス（1999）およびクエト・カメホ＆ヴァルネッケ（2015）の結果よりも弱い仮定の下で、存在性および質量保存性を確立できるか？
• RQ4 SCEに対する保存的および非保存的近似の両方が、質量保存的である弱解を生成するか？

主な発見

• コアグラーション核が$\Psi(\zeta,\eta) \lesssim \zeta^{-\beta}\eta$（$\zeta$が小さい場合）および$\beta \in (0,1/2)$における無限大での線形増加を満たす場合、スモリュッチュコアグラーション方程式に対して全時間的弱解が存在する。
• 提案された手法により構成されたすべての弱解は、初期条件に無限大の2次モーメントを有する場合でさえも、質量保存的である。
• 存在証明は、ゼロにおける特異性を取り扱うために適切に選ばれた重み$\zeta^{-\beta}$を用いた$L^1$における弱コンパクト性の議論に依存する。
• この手法により、保存的および非保存的近似の両方が、質量保存的である弱解に収束することが保証され、質量保存性の性質の頑健性が示される。
• 解析により、先行研究を越えて、無限大での線形増加および小さな体積での特異的挙動を有するコアグラーション核のクラスが拡張された。
• 近似解の収束は、重み付きノルムを用いた$L^1$の弱位相において確立され、小さなおよび大きな粒子体積の両方を制御可能となる。