[論文レビュー] Masse des opérateurs GJMS

Benoît Michel|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2010

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Habermann と Jost の Yamabe 正の共形類における標準的計量の構成を、$k$-次の GJMS 演算子 $P_k$ のグリーン関数特異性の定数項を用いることで一般化する。次元 $n = 2k+1, 2k+2, 2k+3$ において、$P_k$ がグリーン関数をもつならば、この定数項は重み $2k - n$ の共形密度である。正であるとき、これは標準的計量を定義する。パンエーツ＝ブラウン演算子 ($P_2$) において次元 5, 6, 7 の場合、正の性質が示され、ステレオグラフィック射影を用いて漸近的不変量と関連づけられる。

ABSTRACT

This work generalizes a construction by Habermann and Jost of a canonical metric in a Yamabe-positive conformal class, which uses the Green function of the conformal Laplacian. In dimension $n=2k+1$, $2k+2$, or $2k+3$, if the $k$-th GJMS operator $P_k$ admits a Green function, the constant term of its singularity is shown to be a conformal density of weight $2k-n$, when restricted to appropriate choices of conformal factor. When it is positive, it is used to build a canonical metric in the conformal class. In the case of the Paneitz-Branson operator $P_2$, in dimension 5, 6 or 7, we show a positiveness result. In additition, we relate it to an asymptotic invariant of the manifold obtained by stereographic projection via the Green function.

研究の動機と目的

• Habermann と Jost の共形ラプラシアンに基づく標準的計量構成を、共形ラプラシアンを超えて高次の GJMS 演算子へ拡張すること。
• 適切な条件下で、$k$-次の GJMS 演算子 $P_k$ のグリーン関数特異性における定数項が重み $2k - n$ の共形密度であることを確立すること。
• この定数項が正であるとき、それが共形類内に標準的計量を定義することを証明すること。
• グリーン関数を用いたステレオグラフィック射影によって得られる多様体の漸近的不変量とこの定数項との関連を確立すること。
• 次元 5, 6, 7 におけるパンエーツ＝ブラウン演算子 $P_2$ へのこの構成の拡張を行い、定数項の正の性質を証明すること。

提案手法

• 点 $p$ における4次までの正規共形計量を用い、リッチテンソルおよびその対称共変微分が $p$ で消えるようにすることで、$P_k$ のグリーン関数特異性を制御する。
• 点 $p$ の近傍におけるグリーン関数 $G_k^g(p,x)$ の漸近展開を導出。$G_k^g(p,x) = \frac{1}{\mathfrak{c}_{n,k}} r^{2k-n} + A + o(1)$ と表され、$r$ は測地的距離、$A$ は定数項である。
• 共形共変性の確立：$\tilde{g} = \varphi^{\frac{4}{n-2k}}g$ の下で、グリーン関数は $G_k^{\tilde{g}}(x,y) = \frac{G_k^g(x,y)}{\varphi(x)\varphi(y)}$ と変換され、特異性の構造が保たれる。
• 多様体 $M \setminus \{p\}$ にステレオグラフィック射影を適用し、漸近的に平坦な計量 $\hat{g}$ を得ることで、定数項 $A$ を $\hat{\Delta}^{k-1}\widehat{\mathrm{Scal}}$ の積分を通じて漸近的不変量と関連づける。
• 径数座標における計量 $\bar{g}$ の漸近展開を用い、$\bar{g}$ が $\tau > 0$ のオーダーで漸近的に平坦であると仮定し、$\bar{\Delta}^{k-1}\overline{\mathrm{Scal}}$ の大円周上の積分を計算する。
• 質量に類似た不変量 $m_k(\hat{g}) = \frac{4(n-1)}{n-2k}A$ を計算し、$A$ が漸近的質量を決定し、共形不変性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Habermann と Jost の標準的計量構成は、元々共形ラプラシアンに基づいていたが、高次の GJMS 演算子 $P_k$ へ拡張可能か？
• RQ2 次元 $n = 2k+1, 2k+2, 2k+3$ において、$P_k$ のグリーン関数特異性における定数項 $A$ は重み $2k - n$ の共形密度か？
• RQ3 定数項 $A$ が正である条件は何か？これにより共形類内に標準的計量を構成できるか？
• RQ4 グリーン関数を用いたステレオグラフィック射影によって得られる多様体の漸近的不変量と、定数項 $A$ はどのように関連づけられるか？
• RQ5 次元 5, 6, 7 におけるパンエーツ＝ブラウン演算子 $P_2$ に対して、質量不変量 $m_k$ の振る舞いはいかなるものか？

主な発見

• 次元 $n = 2k+1, 2k+2, 2k+3$ において、$P_k$ がグリーン関数をもつとき、および計量が点で4次までの正規共形計量である限り、グリーン関数特異性における定数項 $A$ は重み $2k - n$ の共形密度である。
• $A > 0$ のとき、これは共形類内に標準的計量を定義し、共形ラプラシアンを超えて Habermann-Jost の構成を一般化する。
• 次元 5, 6, 7 におけるパンエーツ＝ブラウン演算子 $P_2$ に対して、定数項 $A$ が正であることが証明され、これらの状況において標準的計量の構成が可能になる。
• 定数項 $A$ は漸近的質量不変量 $m_k(\hat{g})$ と $m_k(\hat{g}) = \frac{4(n-1)}{n-2k}A$ の関係で関連づけられ、$\hat{\Delta}^{k-1}\widehat{\mathrm{Scal}}$ の積分を通じて関連づけられる。
• ステレオグラフィック射影の下で、計量 $\hat{g}$ はオーダー $\tau = 2$ で漸近的に平坦であり、$m_k(\hat{g})$ は $A \neq 0$ のときに限り有限かつ非ゼロであり、$A = 0$ のときは $m_k(\hat{g}) = 0$ である。
• この構成は共形不変であり、$P_k$ 及びそのグリーン関数の共変性に依拠しており、共形スケーリングの下で定数項 $A$ が一貫して変換されることを保証する。