[논문 리뷰] Massively Parallel Symmetry Breaking on Sparse Graphs: MIS and Maximal Matching

Soheil Behnezhad, Mahsa Derakhshan외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 17.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 40인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 산성도 α로 매개변수화된 희박한 그래프에서 최대 독립 집합(MIS)과 최대 매칭(MM)에 대해 처음으로 하위로그라리즘 라운드, 저메모리 MPC 알고리즘을 제안한다. 새로운 분리 가능한 함수 계산 원천과 해싱을 통한 반복적 도수 감소 기법을 활용하여, 각 머신당 O(n^ϵ) 메모리로 O(√log α · log log α + log² log n)라운드를 달성하며, 평면 또는 유한 성질을 가진 그래프와 같은 희박한 가족에 대해 이전 결과보다 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

The success of modern parallel paradigms such as MapReduce, Hadoop, or Spark, has attracted a significant attention to the Massively Parallel Computation (MPC) model over the past few years, especially on graph problems. In this work, we consider symmetry breaking problems of maximal independent set (MIS) and maximal matching (MM), which are among the most intensively studied problems in distributed/parallel computing, in MPC. These problems are known to admit efficient MPC algorithms if the space per machine is near-linear in $n$, the number of vertices in the graph. This space requirement however, as observed in the literature, is often significantly larger than we can afford; especially when the input graph is sparse. In a sharp contrast, in the truly sublinear regime of $n^{1-Ω(1)}$ space per machine, all the known algorithms take $\log^{Ω(1)} n$ rounds which is considered inefficient. Motivated by this shortcoming, we parametrize our algorithms by the arboricity $α$ of the input graph, which is a well-received measure of its sparsity. We show that both MIS and MM admit $O(\sqrt{\log α}\cdot\log\log α+ \log^2\log n)$ round algorithms using $O(n^ε)$ space per machine for any constant $ε\in (0, 1)$ and using $\widetilde{O}(m)$ total space. Therefore, for the wide range of sparse graphs with small arboricity---such as minor-free graphs, bounded-genus graphs or bounded treewidth graphs---we get an $O(\log^2 \log n)$ round algorithm which exponentially improves prior algorithms. By known reductions, our results also imply a $(1+ε)$-approximation of maximum cardinality matching, a $(2+ε)$-approximation of maximum weighted matching, and a 2-approximation of minimum vertex cover with essentially the same round complexity and memory requirements.

연구 동기 및 목표

• 각 머신당 진정으로 하위선형 공간(O(n^ϵ))에서 기존 MPC 알고리즘이 MIS 및 MM에 대해 비효율적인 데서 기인하는 문제를 해결한다. 이전 방법들은 Ω(log n)라운드가 필요로 한다.
• 이전 알고리즘의 한계를 극복한다. 이전 알고리즘은 근사선형 공간(Θ(n^{1+δ}))에 의존하여 희박한 그래프에 대해 실용적이지 않다.
• 산성도 α로 측정되는 그래프의 희박성 특성을 활용하여 더 빠르고 저메모리 알고리즘을 개발하는 프레임워크를 설계한다.
• 제한된 메모리 조건 하에서 분산된 정점들 간에 분리 가능한 함수(예: 최소 레이블, 도수, 이웃 상태 등)를 계산하는 일반 목적의 원천을 설계한다.
• 산성도가 낮은 희박한 그래프 가족(예: 평면 또는 유한 트리너비 그래프)에서 근사적으로 상수 라운드 복잡도를 달성한다.

제안 방법

• 지역적으로 계산 가능하고 이웃 간에 집계 가능한 함수인 '분리 가능한 함수'의 개념을 도입함으로써 효율적인 분산 계산을 가능하게 한다.
• 랜덤 해싱 기법을 사용하여 정점 데이터를 머신에 분배함으로써, 각 머신의 총 도수를 고확률로 O(n^ϵ + Δ^+ log) 이내로 제한한다.
• 머신을 가상의 슈퍼머신으로 묶는 반복적 버블링 기법을 적용하여 정점당 머신 수를 줄이고, 지역 함수 계산을 위해 필요한 데이터 이동 횟수를 감소시킨다.
• 레마 6.1을 활용하여 각 분할에서 값의 합을 O(log p)개의 랜덤 비트로 제한함으로써, 함수 집계 중에 부하 균형을 확보한다.
• 매 라운드마다 정점당 최대 머신 수(Δ′)를 n^ϵ 배수로 감소시키는 다단계 감소 과정을 적용하여 Δ′ = 1이 되는 데 O(1/ϵ)라운드 내에 도달한다.
• 분리 가능한 함수 원천과 대칭성 깨뜨리기 기법(예: 루비의 알고리즘)을 조합하여 MIS 및 MM 문제를 O(√log α · log log α + log² log n)라운드 내에 해결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 각 머신당 하위선형 공간(O(n^ϵ))에서 MPC 모델에서 MIS 및 MM과 같은 대칭성 깨뜨리기 문제를 하위로그라리즘 라운드 내에 해결할 수 있는가?
• RQ2 산성도 α로 알고리즘을 매개변수화하면 평면 또는 유한 성질을 가진 그래프와 같은 희박한 그래프 가족에서 더 빠른 수렴이 가능한가?
• RQ3 낮은 메모리 제약 조건 하에서 분산된 정점들 간에 지역 함수(예: 최소 레이블, 이웃 수 등)를 계산하는 일반 목적의 원천을 설계할 수 있는가?
• RQ4 반복적 머신 묶기와 해싱을 통해 저메모리 MPC에서 최대 도수 Δ에 대한 의존성을 제거할 수 있는가?
• RQ5 진정으로 하위선형 공간 제약 조건 하에서 MIS 및 MM의 라운드 복잡도는 산성도 α에 따라 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 논문은 각 머신당 O(n^ϵ) 메모리와 eO(m) 총 메모리 조건 하에서 MPC 모델에서 MIS 및 MM에 대해 O(√log α · log log α + log² log n)라운드 복잡도를 달성한다.
• 상수 산성도를 가진 그래프(예: 평면, 유한 트리너비, 마이너 자유 그래프)의 경우, 라운드 복잡도는 O(log² log n)로 감소하며, 이는 이전의 O(log n) 기준에 비해 지수적 향상이다.
• 제안된 알고리즘은 정점 도수, 이웃 정점 중 최소 레이블, MIS 정점과의 인접성 등 분리 가능한 함수를 O(1/ϵ)라운드 내에 O(n^ϵ) 메모리로 효율적으로 계산한다.
• 이 프레임워크는 산성도 α의 사전 지식이 필요 없어, 매개변수 조정 없이 일반적인 희박한 그래프에 적용 가능하다.
• 기존의 환원 관계에 따라, 동일한 라운드 및 메모리 복잡도는 최대 카디널리티 매칭에 대한 (1+ϵ)-근사, 최대 가중치 매칭에 대한 (2+ϵ)-근사, 최소 정점 커버에 대한 2-근사를 유도한다.
• 알고리즘의 핵심 원천은 정점의 도수가 머신 메모리 초과일 경우에도 반복적으로 정점당 관여하는 머신 수를 줄여, 분산된 정점들 간의 지역 함수 계산을 효율적으로 수행할 수 있도록 한다.