[論文レビュー] Massless scalar Feynman diagrams: five loops and beyond

David Broadhurst|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2016

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、質量ゼロのスカラーフェルミオン図を5ループまで評価するための高度な解析的手法——再帰関係、対称性の利用、チェビシェフ和の簡約、コンフォーマル不変性——を開発した。驚くべきことに、4次元スカラー場理論における2点関数の$1/k^2$または$1/k^4$補正に寄与する216の有限な5ループ図は、すべて5つの基本定数に簡約される：$-\zeta(3)$、$-\zeta(5)$、$-\zeta(7)$、$-\zeta(9)$、および14桁の精度で計算された極めて対称性の高い1つの図であり、これは6ループのベータ関数に現れる唯一の超越数である可能性を示唆している。

ABSTRACT

Several powerful techniques for evaluating massless scalar Feynman diagrams are developed, viz: the solution of recurrence relations to evaluate diagrams with arbitrary numbers of loops in $n=4-2ω$ dimensions; the discovery and use of symmetry properties to restrict and compute Taylor series in $ω$; the reduction of triple sums over Chebyshev polynomials to products of Riemann zeta functions; the exploitation of conformal invariance to avoid four-dimensional Racah coefficients. As an example of the power of these techniques we evaluate all of the 216 diagrams, with 5 loops or less, which give finite contributions of order $1/k^2$ or $1/k^4$ to a propagator of momentum $k$ in massless four-dimensional scalar field theories. Remarkably, only 5 basic numbers are encountered: $ζ(3)$, $ζ(5)$, $ζ(7)$, $ζ(9)$ and the value of the most symmetrical diagram, which is calculated to 14 significant figures. It is conceivable that these are the only irrationals appearing in 6-loop beta functions. En route to these results we uncover and only partially explain many remarkable relations between diagrams.

研究の動機と目的

• $n=4-2\omega$次元における任意のループ数を持つ質量ゼロのスカラーフェルミオン図を評価する一般化可能な手法の開発。
• 4次元の質量ゼロのスカラー場理論における2点関数の$1/k^2$または$1/k^4$のオーダーの有限補正に寄与する216の5ループ図を体系的に計算すること。
• 極めて複雑な計算にもかかわらず、結果が$\\zeta(3)$、$\\zeta(5)$、$\\zeta(7)$、$\\zeta(9)$、および1つの極めて対称性の高い図にのみ表現されるという驚くべき単純さを特定・解明すること。
• このような極めて深刻な簡約を可能にする背後にある数学的「奇跡」を解明し、もはや解けないループ積分においてもその本質を明らかにすること。

提案手法

• 時空次元$n=4-2\omega$やガンマ関数に依存しない、ループ数および伝播子指数に関する再帰関係を解く。
• 正方形の対称性（$D_4$群）を有する隠れた$Z_2 \times D_4$対称性群を活用し、異なるトポロジーの図を関連づけ、$\omega$に関するテイラー展開を可能にする。
• 組合せ的恒等式と母関数を用いて、チェビシェフ多項式に関する3重和をリーマンゼータ関数の積に簡約する。
• コンフォーマル不変性を適用することで、角運動量還元における4次元のラカ係数の必要性を回避する。
• ギーゲンバウアー多項式$x$空間技法（GPXT）を用いて、明快な4次元の結果を導出し、ループ図における組合せ的係数の説明を行う。
• 高精度アルゴリズムと再帰に基づく評価を用いて、最も対称性の高い5ループ図を14桁の有効数字まで数値的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 図4の図のクラスに、図1のマスタ関数$P$に類似したマスタ関数が存在するか。もしあるなら、ガンマ関数や平方根を含む可能性があるか。
• RQ2 再帰関係（式3.15）に観察される反射対称性は、式(3.2)〜(3.14)の長大な代数的導出を経ずに解析的に導けるか。
• RQ3 図1と図4の図の間のトポロジカルな関係が、式(3.28)および(3.29)の一般化として、再帰関係なしに導けるか。これにより、より広範な図同値性のクラスが存在する可能性があるか。
• RQ4 式(4.9)の見かけ上解けない和が、式(4.8)の代替パラメータ化を用いることでなぜ消えるのか。このキャンセルは、すべてのループオーダーにわたって普遍的か。
• RQ5 $F(6,2)$ や $F(8,2,1)$ のような非可約和は、本当にゼータ関数の積に還元できないのか。もしそうなら、このような場合の還元可能性を支配する規則は何か。

主な発見

• 4次元の質量ゼロのスカラー場理論における2点関数の$1/k^2$または$1/k^4$のオーダーの有限補正に寄与する216の5ループ図がすべて解析的に評価された。
• すべての図の結果は、$\zeta(3)$、$\zeta(5)$、$\zeta(7)$、$\zeta(9)$、および14桁の精度で計算された最も対称性の高い5ループ図の値にのみ簡約される。
• 最も対称性の高い5ループ図（$m$と表記）は高精度で数値的に計算され、6ループ段階で唯一の非可約定数であると予想されている。
• 予想される$\zeta(2)$ や $\pi^2$ などの偶数ゼータ値が最終結果に現れないという事実は、未だ説明がつかず、深い謎と見なされている。
• 再帰構造に隠された$Z_2 \times D_4$対称性群が発見され、体系的な簡約と$\omega$に関する級数展開を可能にした。
• 数値的偶然（$n = h - i/3$）と解析的恒等式（$p = i$）といった、簡約を可能にする未解決の「奇跡」が同定され、それらには代数的説明が欠けている。