[論文レビュー] Matched Queues with Matching Batch Pair (m, n)

Heng-Li Liu, Quan‐Lin Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2020

Transportation and Mobility Innovations参考文献 71被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$m$ 匹の A カスタマーと $n$ 匹の B カスタマーのバッチマッチングを伴う、新たなマッチドキューイングシステムのための行列解析的手法を開発する。両方のタイプのカスタマーが不耐性である場合を想定し、双方向のレベル依存 QBD プロセスと RG 因数分解を用いて、システムの安定性を確立し、定常キュー長、滞在時間、排出プロセスを計算する。本手法は、ライドシェアリングや医療分野などにおける一般化されたマッチドキューイングシステムのフレームワークを提供する。

ABSTRACT

In this paper, we discuss an interesting but challenging bilateral stochastically matching problem: A more general matched queue with matching batch pair (m, n) and two types (i.e., types A and B) of impatient customers, where the arrivals of A- and B-customers are both Poisson processes, m A-customers and n B-customers are matched as a group which leaves the system immediately, and the customers' impatient behavior is to guarantee the stability of the system. We show that this matched queue can be expressed as a novel bidirectional level-dependent quasi-birth-and-death (QBD) process. Based on this, we provide a detailed analysis for this matched queue, including the system stability, the average stationary queue lengthes, and the average sojourn time of any A-customer or B-customer. We believe that the methodology and results developed in this paper can be applicable to dealing with more general matched queueing systems, which are widely encountered in various practical areas, for example, sharing economy, ridesharing platform, bilateral market, organ transplantation, taxi services, assembly systems, and so on.

研究の動機と目的

• バッチマッチングによる $m$ 匹の A カスタマーと $n$ 匹の B カスタマーを有する一般化されたマッチドキューイングシステムのモデル化と分析。
• $(m,n)$ バッチペアに起因する非一様な遷移行列を有する双方向無限レベル QBD プロセスの挑戦に取り組む。
• マッチドキュー・モデルに2種類の不耐性カスタマーを組み込むことで、実世界の応用における現実性を高める。
• 性能評価のための体系的で行列解析に基づくフレームワークを、RG 因数分解を用いて開発する。
• 定常キュー長、滞在時間、排出プロセスといった主要な性能指標を計算するためのアルゴリズムを提供する。

提案手法

• A-および B-カスタマー・キューの連携ダイナミクスを捉えるために、双方向の無限レベルを有するレベル依存の準出生死滅（QBD）プロセスとしてシステムを定式化する。
• 無限大の最大非正の逆行列を計算するために、RG 因数分解技術を適用し、定常分布の解法を可能にする。
• 不耐性カスタマーの行動と到着プロセスをモデル化するために、Phase-type（PH）分布およびマーク付き遷移を有するマコビアン到着過程（MMAP）を用いる。
• 正のレベルと負のレベルそれぞれに対し、$R$-行列および$\tilde{R}$-行列の再帰的計算を通じて、定常分布を導出する。
• 埋め込み QBD プロセス $Q_A$ および $Q_B$ の正再帰性の証明により、安定性条件を確立する。
• 定常分布が、グローバルバランス方程式と正規化条件 $\pi \mathbf{e} = 1$ を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マッチドキューにバッチペア $(m,n)$ と不耐性カスタマーが存在する場合、どのような条件下で安定するか？
• RQ2 非一様な遷移を持つ双方向無限レベルのレベル依存 QBD プロセスの定常分布は、どのように計算可能か？
• RQ3 この一般化されたマッチドキューにおける性能指標（平均キュー長、滞在時間、排出プロセス）は何か？
• RQ4 RG 因数分解法は、双方向 QBD プロセスにおける無限次元行列をどのように扱えるか？
• RQ5 提案された行列解析フレームワークは、実世界の応用における他のマッチドキューイングシステムへ一般化可能か？

主な発見

• システムは、埋め込み QBD プロセス $Q_A$ および $Q_B$ がともに正再帰である場合に限り安定する。これはスペクトル半径条件により確立される。
• 定常分布は、$k \geq 2$ に対して $\pi_k = c \tilde{\pi}_k R_1 R_2 \cdots R_{k-1}$、$\pi_1 = c \tilde{\pi}_1$、$\pi_0 = c \tilde{\pi}_0$、$\pi_{-1} = c \tilde{\pi}_{-1}$、$k \leq -2$ に対して $\pi_k = c \tilde{\pi}_{-1} \mathbb{R}_{-1} \mathbb{R}_{-2} \cdots \mathbb{R}_{k+1}$ と表され、$c$ は正規化により決定される。
• 定常分布は、グローバルバランス方程式 $\pi Q = \mathbf{0}$ および $\pi \mathbf{e} = 1$ を満たし、レベル $k \geq 2$、$k \leq -2$、および $k = -1, 0, 1$ におけるケース別分析により検証された。
• 本手法により、定常状態における平均キュー長、平均滞在時間、排出プロセスの計算が可能である。
• 本フレームワークは、ライドシェアリング、臓器移植、組立ラインなど、他のマッチドキューイングシステムへ一般化可能である。
• RG 因数分解の使用により、双方向 QBD プロセスにおける無限次元行列の効果的取り扱いが可能となり、これはキューイング理論における画期的な貢献である。