[論文レビュー] $\mathbb{B}$-valued monogenic functions and their applications to boundary value problems in displacements of 2-D Elasticity

S. V. Gryshchuk|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2016

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、2次元弾性境界値問題を解くために、複素数体ℂ上の可換双調和代数𝔹における𝔹-値正則関数を用いた新規フレームワークを提示する。正則関数が一般化されたコーシー・リーマン条件を満たすことに基づき、弾性平衡とその関係を確立することで、変位の解法が、関数の第1および第4実部の境界値を含む(1-4)問題に還元されることを示した。これにより、積分公式と調和共役関数を用いて応力と変位を明示的に再構成可能である。

ABSTRACT

Consider the commutative algebra $\mathbb{B}$ over the field of complex numbers with the bases $\{e_1,e_2\}$ such that %satisfying the conditions $(e_1^2+e_2^2)^2=0$, $e_1^2+e_2^2 e 0$. %$\mathbb{B}$ is unique. Let $D$ be a domain in $xOy$, $D_ζ:=\{xe_1+ye_2:(x,y) \in D\}\subset \mathbb{B}$. We say that $\mathbb{B}$-valued function $Φ\colon D_ζ \longrightarrow \mathbb{B}$, $Φ(ζ)=U_{1}\,e_1+U_{2}\,ie_1+ U_{3}\,e_2+U_{4}\,ie_2$, $ζ=xe_1+ye_2$, $U_{k}=U_{k}(x,y)\colon D\longrightarrow \mathbb{R}$, $k=\bar{1,4}$, is {\em monogenic} in $D_ζ$ iff $Φ$ has the classic derivative in every point in $D_ζ$. Every $U_k$, $k=\bar{1,4}$, is a biharmonic function in $D$. A problem on finding an elastic equilibrium for isotropic body $D$ by given boundary values on $\partial D$ of partial derivatives $\frac{\partial u}{\partial v}$, $\frac{\partial v}{\partial y}$ for displacements $u$, $v$ is equivalent to BVP for monogenic functions, which is to find $Φ$ by given boundary values of $U_1$ and $U_4$.

研究の動機と目的

• 2次元等方性弾性平衡問題と、複素数体ℂ上の可換双調和代数𝔹における正則関数との間の対応関係を確立すること。
• 変位の境界値問題を、𝔹-値正則関数の第1および第4成分の境界データを用いて再定式化すること。
• 双調和平面上の(1-4)問題の解から、応力と変位を明示的に再構成するための積分公式を導出すること。
• 正則関数のすべての実部成分が双調和的であることを示し、この手法が双調和方程式および弾性理論とどのように関連するかを明らかにすること。

提案手法

• 基底{e₁, e₂}をもち、(e₁² + e₂²)² = 0 かつ e₁² + e₂² ≠ 0 を満たす可換双調和代数𝔹を定義する。
• ζ = xe₁ + ye₂ および D 上の実数値関数 Uₖ を用いて、𝔹-値正則関数 Φ(ζ) = U₁e₁ + U₂ie₁ + U₃e₂ + U₄ie₂ を表現する。
• Φ が Dₚ で正則であることと、その成分が一般化されたコーシー・リーマン条件に相当する4つの1階偏微分方程式系を満たすこととが同値であることを確立する。
• 各 Uₖ が2次元双調和方程式 (Δ₂)²U = 0 を満たすことを証明し、この手法が弾性理論と関連することを示す。
• 弾性平衡問題を、U₁ および U₄ の境界値が与えられたもとでの(1-4)問題に還元する。
• 積分表現および調和共役関数を用いて、偏微分および応力を再構成し、τₓᵧ = −∂²W/∂x∂y および線積分による変位を求める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元等方性弾性境界値問題は、双調和代数における正則関数を用いてどのように再定式化可能か？
• RQ2 𝔹-値正則関数の実部成分が双調和平面上で正則性を満たすために満たすべき偏微分方程式系は何か？
• RQ3 (1-4)問題の解—U₁ および U₄ の境界値が与えられたもと—が、一意的に弾性変位および応力場を決定できるか？
• RQ4 応力σₓ, σᵧ, τₓᵧ は、正則関数成分およびその微分を用いてどのように表現されるか？
• RQ5 調和共役関数および積分表現は、変位および混合2階微分を再構成するために果たす役割は何か？

主な発見

• 𝔹-値正則関数Φの各成分Uₖは、Dで双調和的であり、(Δ₂)²Uₖ = 0 を満たす。
• Φ の正則性は、一般化されたコーシー・リーマン方程式に相当する4つの1階偏微分方程式系(5)–(8)と同値である。
• 等方性体の弾性平衡問題は、U₁ および U₄ の境界値が与えられたもとでの(1-4)問題に還元される。
• 応力σₓおよびσᵧは、一般化されたフックの法則を用いて∂u/∂xおよび∂v/∂yから再構成され、τₓᵧ は τₓᵧ = −∂²W/∂x∂y として得られる。
• 変位uおよびvは、∂u/∂x, ∂v/∂y および関数Wとその調和共役関数から再構成された∂u/∂yおよび∂v/∂xを含む線積分により回復される。
• 本手法は、3次元弾性問題をハイパーコンプレックス解析を用いて解くために、非可換代数における正則関数を用いるコロソフ＝ムスキェリシヴィリの公式の代替手段を提供する。