[論文レビュー] $\mathbf{H}^1$-conforming approximation of the Maxwell equations in heterogeneous media with minimal regularity

Andrea Bonito, Jean‐Luc Guermond+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、正則性仮定を最小限にした異種媒質におけるマクスウェル方程式を解くために、C⁰有限要素を用いたH¹-適合内部罰則法を提示する。任意の多項式次数において境界値問題および固有値問題の両方に対して最適収束性を確立し、リプシッツ領域ですらも物理的固有値に正しく収束するスペクトル的正確性を保証する。

ABSTRACT

The present paper proposes and analyzes an interior penalty technique using $C^0$-finite elements to solve the Maxwell equations in domains with heterogeneous properties. The convergence analysis for the boundary value problem and the eigenvalue problem is done assuming only minimal regularity in Lipschitz domains. The method is shown to converge for any polynomial degrees and to be spectrally correct.

研究の動機と目的

• 材料係数が著しく変化する異種媒質におけるマクスウェル方程式を解くための頑健な有限要素法の開発。
• リプシッツ領域において正則性仮定を最小限にしたマクスウェル方程式の解法に直面する課題に対処すること。
• 弱い正則性条件のもとで、境界値問題および固有値問題の両方における収束性およびスペクトル的正確性を保証すること。
• H¹-適合エッジ要素を必要とせずに、C⁰有限要素を用いた内部罰則法をマクスウェル系に拡張すること。

提案手法

• C⁰有限要素を用いて、要素界面における弱い連続性を強制する内部罰則法を定式化する。
• 電場の接線成分のジャンプを罰則項で抑える安定化項を採用する。
• 有限要素空間の下でのH¹-適合性の意味において、安定性および一貫性を保証するように定式化を設計する。
• この手法を、源項付き境界値問題およびマクスウェル方程式の固有値問題の両方に適用する。
• 解析は、リプシッツ領域で有効な最小限の正則性仮定に依拠し、解の強い滑らかさ要件を回避する。
• アプローチによりスペクトル的正確性が保証され、離散固有値が連続問題の正しい物理的固有値に収束する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則性仮定を最小限にした異種媒質におけるマクスウェル方程式に対して、C⁰有限要素を用いたH¹-適合内部罰則法が最適収束性を達成できるか。
• RQ2 低正則性仮定のもとで、固有値問題においてもスペクトル的正確性が維持されるか。
• RQ3 有限要素空間における任意の多項式次数において収束結果がロバストであるか。
• RQ4 解の高正則性を要しないリプシッツ領域においても、この手法が効果的に適用可能か。
• RQ5 C⁰要素を用いたベクトル値問題において、内部罰則安定化が安定性および精度をどのように確保するか。

主な発見

• リプシッツ領域において正則性仮定を最小限にしたもとで、境界値問題に対して最適収束率が達成される。
• 固有値問題はスペクトル的に正確であり、離散固有値が連続問題の正しい物理的固有値に収束する。
• 任意の多項式次数において収束が確立され、さまざまな近似空間におけるロバスト性が示される。
• 不規則な境界や不連続係数を有する領域であっても、解が高正則性を持たない場合でも、この手法は安定かつ正確に保たれる。
• 内部罰則を用いたC⁰有限要素の使用により、H¹-適合エッジ要素を用いる場合と比較して実装が簡素化されつつ、精度および収束性を維持できる。