[論文レビュー] Mathematical Basis for Physical Inference

Albert Tarantola, Klaus Mosegaard|ArXiv.org|Sep 20, 2000

Neural Networks and Applications参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、解析的物理理論をパラメータ空間上の確率分布に置き換えることで、物理的推論の形式的数学的枠組みを提案する。'または'および'かつ'の演算を用いて推論を構造化する。予測および逆問題における不確実性の一貫した取り扱いを可能にし、古典的外挿物理学の代替として、体系的かつ経験的根拠に基づいた手法を提供する。

ABSTRACT

While the axiomatic introduction of a probability distribution over a space is common, its use for making predictions, using physical theories and prior knowledge, suffers from a lack of formalization. We propose to introduce, in the space of all probability distributions, two operations, the OR and the AND operation, that bring to the space the necessary structure for making inferences on possible values of physical parameters. While physical theories are often asumed to be analytical, we argue that consistent inference needs to replace analytical theories by probability distributions over the parameter space, and we propose a systematic way of obtaining such "theoretical correlations", using the OR operation on the results of physical experiments. Predicting the outcome of an experiment or solving "inverse problems" are then examples of the use of the AND operation. This leads to a simple and complete mathematical basis for general physical inference.

研究の動機と目的

• 決定論的関数的関係を物理的パラメータ上の確率分布に置き換えることで、物理的推論を形式化すること。
• 特に不確実性の取り扱いや情報の統合に関して、推論に用いられる確率空間に形式的な構造が欠如している問題を解決すること。
• ベイズ確率分布を用いて、実験データから理論的相関を体系的に導出する手法を提供すること。
• データ、事前知識、物理的理論を確率的演算によって統合することで、逆問題および予測の解法を一貫して行えるようにすること。
• 古典的物理学の外挿的仮定を避けるが、観測されたパラメータ範囲内では予測力が保たれる形式的枠組みを確立すること。

提案手法

• 実数の代数的演算に類似した、確率分布に対する2つの基本的演算—'または'および'かつ'—を導入し、構造化された推論空間を構築する。
• 'または'演算を用いて、独立した実験結果をパラメータ上の結合確率分布に統合し、ヒストグラム構築の一般化を実現する。
• 'かつ'演算を用いて、複数の情報源（例：データと事前知識）の情報を統合し、ベイズの定理による条件付き推論をモデル化する。
• 物理的理論を、決定論的方程式ではなく、パラメータ間の観察された相関を表す確率分布として定義する。
• 独立変数（i）と従属変数（d）の間の依存関係をモデル化するために、結合確率密度 ρ(i,d) と条件付き密度 σ(i,d) を用いる。
• 情報量 θ(i,d) を表す式 σ(i,d) = θ(i,d)ρ(i,d)/μ(i,d) を用いて、ρ(i,d) と周辺分布 μ(i,d) から条件付き密度 σ(i,d) を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 データおよび理論的モデルにおける不確実性を一貫して取り扱えるように、物理的推論をどのように形式化できるか？
• RQ2 経験的結果、事前知識、物理的理論を確率的枠組み内で体系的に統合するための数学的構造は何か？
• RQ3 解析的近似に依存せずに、統一的な確率的演算から逆問題の解を導出できるか？
• RQ4 古典的物理学における外挿の限界を、決定論的理論を経験的に導かれた確率分布に置き換えることでどのように克服できるか？
• RQ5 'または'および'かつ'演算は、物理的パラメータの整合的な推論空間を構築する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 'または'および'かつ'演算を確率分布に導入することで、実数の代数的演算に類似した完全かつ一貫した数学的構造が物理的推論に与えられる。
• データと事前知識を'かつ'演算で統合することで、逆問題の解法が一貫して可能となり、不確実性を反映した後験分布が得られる。
• 'または'演算により、独立した実験結果が体系的にパラメータ上の結合確率分布に統合され、経験的データから理論的相関が構築可能となる。
• 物理的相関に'='を用いるのを拒否し、固有の不確実性を有する確率分布として表現することで、古典的物理学の落とし穴を回避する。
• 不確実性を無視した場合、従来の最小二乗法と整合的であるが、古典的手法が失敗する非線形および不整合な状況にまで拡張可能である。
• 一部のパラメータが poorly constrained である場合（誤差範囲が大きいか無限大である場合）を自然に扱えるため、解析理論で一般的な不適切な外挿を防ぐ。