[論文レビュー] Mathematical foundations of modern cryptography: computational complexity perspective

Shafi Goldwasser|ArXiv.org|Dec 1, 2002

Cryptography and Data Security参考文献 64被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、現代暗号の計算複雑性の基盤を確立し、単方向関数、擬似ランダム性、ゼロ知識証明といった概念が、安全な暗号とプロトコルを支える仕組みであることを示している。安全な暗号は、たとえば単方向関数の逆転が難しいことといった、難しい問題の存在に依存しており、構成的還元を用いて安全性を証明することで、暗号の安全性をNP ≠ Pのような計算複雑性の仮定と結びつけている。

ABSTRACT

Theoretical computer science has found fertile ground in many areas of mathematics. The approach has been to consider classical problems through the prism of computational complexity, where the number of basic computational steps taken to solve a problem is the crucial qualitative parameter. This new approach has led to a sequence of advances, in setting and solving new mathematical challenges as well as in harnessing discrete mathematics to the task of solving real-world problems. In this talk, I will survey the development of modern cryptography -- the mathematics behind secret communications and protocols -- in this light. I will describe the complexity theoretic foundations underlying the cryptographic tasks of encryption, pseudo-randomness number generators and functions, zero knowledge interactive proofs, and multi-party secure protocols. I will attempt to highlight the paradigms and proof techniques which unify these foundations, and which have made their way into the mainstream of complexity theory.

研究の動機と目的

• 計算複雑性理論を用いて、現代暗号の理論的基盤を形式化すること。
• 暗号化、デジタル署名、安全なマルチパーティ計算といった暗号的タスクのための最小限の必要十分な仮定を特定すること。
• 計算的区別不能性や構成的還元といった計算複雑性理論的枠組みを通じて、暗号プリミティブを統一すること。
• 暗号研究が複雑性理論にどのように貢献したかを示し、新たな証明技法や研究テーマを導入したことを明らかにすること。

提案手法

• 暗号スキームを破るには、単方向関数の逆転といった難しい計算問題を解く必要があることを示す構成的還元を用いて、安全性を証明すること。
• 計算的区別不能性を用いて安全性を定義し、任意の効率的攻撃者がある実物と擬似ランダムな対象を区別できないことを保証すること。
• インタラクティブな証明システムとゼロ知識プロトコルを用いて、秘密の入力を暴露せずに安全な計算を可能にすること。
• ランダム自己還元性、困難さの強化、シミュレーション的議論といった技術を用いて、暗号構成を強化すること。
• 擬似ランダム関数を用いて、学習理論における否定的結果や回路下界を導出し、自然証明の限界を示すこと。
• 統計的テストを、関数の真理値表への完全なアクセスを許可するまで拡張し、強い敵対的クエリ下での擬似ランダム性の限界を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安全なデジタル署名の存在に必要な最小限の複雑性仮定は何か？ それが十分でもあるか？
• RQ2 整数因子分解や単方向関数といった難しい問題への還元を用いて、暗号の安全性を形式的に証明する方法は何か？
• RQ3 擬似ランダム関数や置換は、計算学習理論における概念クラスの学習可能性にどのように寄与するか、あるいは制限を及えるか？
• RQ4 すべての統計的テスト、特に真理値表への完全なアクセスを持つテストですら、擬似ランダム関数にだませるか？
• RQ5 インタラクティブ証明システムは、敵対的コалиションが参加者数の1/3未満である場合の安全なマルチパーティ計算の実現可能性にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 単方向関数の存在は、安全なデジタル署名の存在にとって必要かつ十分であることが、構成的還元によって証明された。
• 構成的還元により、暗号システムが破られるならば、整数因子分解などの難しい問題を多項式時間で解けることが示され、安全性が複雑性仮定と結びつけられた。
• 一様分布下でのメンバークエリを用いた学習では、擬似ランダム関数は効率的に学習できないことが示され、計算学習理論における障壁が確立された。
• 回路下界を確立するために用いられる自然証明は、擬似ランダム関数を含む複雑性クラスに対しては成功できないことが判明し、複雑性下界技術における根本的限界が明らかになった。
• 単方向関数の逆転に指数時間が必要であるという仮定の下で、関数の真理値表への完全なアクセスを持つテストですら、すべての最終的統計的テストに合格する擬似ランダム関数族が存在する。
• ペアワイズ通信チャネルが安全である限り、参加者の1/3未満の敵対的コアリションが存在しても、マルチパーティ安全計算が可能であることが、多項式に基づくエラー訂正符号に依拠するプロトコルによって示された。