[論文レビュー] Mathematical study of degenerate boundary layers: A Large Scale Ocean Circulation Problem

Anne-Laure Dalibard, Laure Saint‐Raymond|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2012

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、大規模な海洋循環モデルにおける定常Munk方程式のきめ細かな漸近解析を提示し、地衡力の退化に起因する北・南岸に近接して生じる退化境界層を解消する。$\mathfrak{E}^{1/4}$ のサイズを有する北・南境界層という新しいクラスの境界層の存在を確立し、古典的西部・東部境界層（$\mathfrak{E}^{1/3}$）よりも大きいサイズである。境界層分離および非局所的効果が存在する中でも収束を証明し、強制項や領域幾何の制限を課さない前向きな仮定を排除した。

ABSTRACT

This paper is concerned with a complete asymptoticanalysis as $\\mathfrak{E} \ o 0$ of the stationary Munk equation $\\partial\\_x\\psi-\\mathfrak{E} \\Delta^2 \\psi=\ au$ in a domain $\\Omega\\subset \\mathbf{R}^2$, supplemented with boundaryconditions for $\\psi $ and $\\partial\\_n \\psi$. This equation is a simplemodel for the circulation of currents in closed basins, the variables$x$ and $y$ being respectively the longitude and the latitude. A crudeanalysis shows that as $\\mathfrak{E} \ o 0$, the weak limit of $\\psi$ satisfiesthe so-called Sverdrup transport equation inside the domain, namely$\\partial\\_x \\psi^0=\ au$, while boundary layers appear in the vicinity ofthe boundary.These boundary layers, which are the main center of interest of thepresent paper, exhibit several types of peculiar behaviour. First, thesize of the boundary layer on the western and eastern boundary, whichhad already been computed by several authors, becomes formally verylarge as one approaches northern and southern portions of the boudary,i.e. pieces of the boundary on which the normal is vertical. Thisphenomenon is known as geostrophic degeneracy. In order to avoid suchsingular behaviour, previous studies imposed restrictive assumptionson the domain $\\Omega$ and on the forcing term $\ au$. Here, we provethat a superposition of two boundary layers occurs in the vicinity ofsuch points: the classical western or eastern boundary layers, andsome northern or southern boundary layers, whose mathematicalderivation is completely new. The size of northern/southern boundarylayers is much larger than the one of western boundary layers($\\mathfrak{E}^{1/4}$ vs. $\\mathfrak{E}^{1/3}$). We explain in detail how the superpositiontakes place, depending on the geometry of the boundary.Moreover, when the domain $\\Omega$ is not connex in the $x$ direction,$\\psi^0$ is not continuous in $\\Omega$, and singular layers appear inorder to correct its discontinuities. These singular layers areconcentrated in the vicinity of horizontal lines, and thereforepenetrate the interior of the domain $\\Omega$. Hence we exhibit some kindof boundary layer separation. However, we emphasize that we remainable to prove a convergence theorem, so that the singular layerssomehow remain stable, in spite of the separation.Eventually, the effect of boundary layers is non-local in severalaspects. On the first hand, for algebraic reasons, the boundary layerequation is radically different on the west and east parts of theboundary. As a consequence, the Sverdrup equation is endowed with aDirichlet condition on the East boundary, and no condition on the Westboundary. Therefore western and eastern boundary layers have in factan influence on the whole domain $\\Omega$, and not only near theboundary. On the second hand, the northern and southern boundary layerprofiles obey a propagation equation, where the space variable $x$plays the role of time, and are therefore not local.

研究の動機と目的

• 領域の複雑な境界幾何を有する状況において、$\mathfrak{E} \to 0$ のときの定常Munk方程式の漸近的挙動を解析すること。
• 古典的境界層が形式的に無限大に発散する北・南境界部における地衡力の退化問題を解消すること。
• 極点における強制項が消えることを仮定せずに、西部・東部および北・南部境界層を重ね合わせた完全な漸近展開を構築すること。
• 境界層分離および非局所的相互作用が存在する中でも、近似解の収束を証明すること。
• 強制項または領域幾何が臨界境界点近傍で消えることを仮定する以前の研究の制限を排除すること。

提案手法

• 境界近傍における局所的境界層座標を用いたマルチスケール漸近展開を導出。異なる境界部におけるスケーリングを別個に定義。
• $x$ が時間変数として機能する伝播方程式に従う、北・南境界層プロファイルの新しいクラスを導入。
• 一致漸近展開および切り捨て技術を用いて、東・西・北・南境界層の補正項を構築。
• 領域が $x$ 方向に連結でない場合に生じるSverdrup解 $\psi^0$ の不連続性を補正するための内部特異層を定義。
• $H^2$ での収束を保証するため、リフト作用素 $\psi^{\mathrm{lift}}$ と特異層 $\psi^{\Sigma}$ を定義。
• 曲線座標変換と重み付きソボレフノルムにおける推定を用いて、剰余解析における誤差項を制御。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 北・南岸に近接する領域で法線ベクトルが鉛直となる場合、地衡力の退化が生じるが、境界層はどのように振る舞うか？
• RQ2 西部・東部境界層と比較して、北・南部境界層の正しいスケーリングと構造は何か？
• RQ3 Sverdrup解 $\psi^0$ が不連続である場合、境界層分離をどのように数学的に記述・制御できるか？
• RQ4 なぜ西部・東部境界層が領域全体に非局所的効果を及ぼすのか？ これはSverdrup方程式にどのように影響を与えるか？
• RQ5 重ね合わせ、非局所的、特異的境界層が存在する状況でも収束定理を確立できるか？

主な発見

• 北・南部境界層のサイズは $\mathfrak{E}^{1/4}$ であり、古典的西部・東部境界層（$\mathfrak{E}^{1/3}$）よりも顕著に大きい。
• コーナー領域では西部・東部境界層と北・南部境界層が重ね合わさり、後者が厚さにおいて支配的である。
• Sverdrup方程式は東境界でディリクレ条件を満たし、西境界では条件がない。これは境界層の非局所的影響による。
• 領域が $x$ 方向に連結でない場合、$\psi^0$ の不連続性を補正する内部特異層のサイズは、$L^2$ で $\mathfrak{E}^{1/8}$、$H^2$ で $\mathfrak{E}^{-3/8}$ である。
• 境界層分離が存在する中でも収束定理が成立し、切り捨ておよびリフト技術により誤差項が制御される。
• 北・南部境界層のプロファイルは $x$ を時間変数とする伝播方程式に従い、その影響が領域全体に非局所的に及ぶ。